Gama fonksiyonu

Gama fonksiyonu, matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

Gamma
Reel eksen boyunca gama fonksiyonu
Genel bilgiler
Genel tanım	${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$
Uygulama alanları	Kalkülüs, matematiksel analiz, istatistik, fizik

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }\,t^{z-1}\,e^{-t}dt}$

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$

Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır,pozitif tam sayı olmalıdır.

Alıştırma

Öncelikle;

${\displaystyle (n+1)n!=(n+1)!}$ eşitliğini ele alalım.

${\displaystyle n=0}$ alırsak; ${\displaystyle 1.0!=1!=1}$ olur.

Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.

${\displaystyle n=1/2}$ alırsak;

${\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!}$ olması gerekir. Yani

${\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!}$→${\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2}$ olmalıdır.

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$' olduğundan;

${\displaystyle \Gamma (5/2)}$→${\displaystyle (3/2)!}$ 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine

${\displaystyle \Gamma (3/2)}$→${\displaystyle (1/2)!}$ işlemine karşılık gelmelidir.

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\end{array}}}$

${\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2}$

Bu da

${\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2}$→${\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2}$ varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

Tanım

Ana Tanım

karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu

Bu çift ${\displaystyle \Gamma (z)}$ gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z'nin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$

Burada kullanarak, gösterilebilir.

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\qquad {\text{(1)}}}$

 n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu .

${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1\qquad {\text{(2)}}}$

Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor. Bütün n Doğal sayılar'ı için .

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=n\,(n-1)\,\Gamma (n-1)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}$

Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun mutlak değeri.

${\displaystyle \Gamma (z)}$ genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. (z. = −nbasit kutbu ile (−1) ⁿ/n !).

Alternatif tanımlamalar

0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\\\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\\end{aligned}}}$

burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı basitleştirilmiş şekli,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n)^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n+1)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}}$

değişik bir gösterim...

${\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!}$

Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir;

${\displaystyle \Gamma (z)=t^{z}\cdot \sum _{n=0}{\frac {L_{n}^{(z)}(t)}{z+n}}}$  ,   yakınsaklık için ${\displaystyle \Re (z)<{\frac {1}{2}}}$ olmalıdır.

• Mutlak değer
• Gerçel kısım
• Sanal kısım

Özellikler

Mathematica'da kendi kendine yapılan Γ fonksiyonunun mutlak değerinin 3B grafiği (mupad'deki önceki sürümler)

Pi fonksiyonu

Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor,gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t,}$

böylece

her negatif olmayan n için.

${\displaystyle \Pi (n)=n!,}$

Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$

burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z).}$

ayrıca bazen

${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},}$

bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur,çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z) hiçbir kutuba sahip değildir, Π(z)de, Γ(z) gibi, yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap ${\displaystyle r_{1},...,r_{n}}$ ile gösterilebilir.

${\displaystyle V_{n}(r_{1},...,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi ({\frac {n}{2}})}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}}$

Özel değerler

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}$

Raabe formülü

1840 yılında şunu kanıtladı,

${\displaystyle \int \limits _{a}^{a+1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a\geq 0.}$

özel olarak, eğer ${\displaystyle a=0}$ ise

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Beta fonksiyonu
• Bohr–Mollerup teoremi
• n-küre hacminin türevi (görünüşte ilgisiz olan problemden Gama fonksiyonunun türetilmesi)
• Digama fonksiyonu
• Elliptik gama fonksiyonu
• Faktöriyel
• Gamma dağılımı
• Gauss sabiti
• Çokdeğişkenli Gama fonksiyonu
• Poligama fonksiyonu
• Ters Gama fonksiyonu
• Trigama fonksiyonu

Notlar

1. ^ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by )

Kaynakça

• Bu makale, altında lisanslanan ancak kapsamında olmayan Citizendium makalesi "Gama fonksiyonu"dan materyal içermektedir.

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6) 17 Şubat 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
• Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
• Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
• Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", (c) 2003
• W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. . Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)
• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde . and HTML4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde . formats.

Dış bağlantılar

Wikimedia Commons'ta Gama fonksiyonu ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

• Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde . - C and C++ language special functions math library
• Examples of problems involving the Gamma function can be found at .
• Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)28 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
• Volume of n-Spheres and the Gamma Function5 Mart 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde . at MathPages
• Computing the Gamma function31 Aralık 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde . - various algorithms
• Eric W. Weisstein, Gamma function (MathWorld)
• "Elementary Proofs and Derivations" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
• "Transformations, Identities and Special Values" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde .