Beta fonksiyonu

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür, ${\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0.\,}$

beta fonksiyonunun

Pozitif x ve y degerleri için beta fonksiyonunun bir çizimi

için bu özel fonksiyon'unun tanımı

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}$

Beta fonksiyonu tarafından öğrencileri Euler ve Legendre'ye adandı.

Özellikler

Beta fonksiyonu 'tir, yani

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}$

yerine konulan Birçok diğer formları da vardır:

${\displaystyle \mathrm {B} (x)={\dfrac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}$

Burada ${\displaystyle \Gamma \,}$ gama fonksiyonu'dur.

özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül,

${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$.

${\displaystyle \mathrm {B} (1/2)=\pi }$.

'daki 'ne uygulanabilir .

Sadece tam sayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu endeksi tarafından tanımlanabilir:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

Ayrıca her ${\displaystyle n}$ tam sayısı için, ${\displaystyle \mathrm {B} \,}$'nın ${\displaystyle k}$ sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli

${\displaystyle {n \choose k}=(-1)^{n}n!{\cfrac {\sin(\pi k)}{\pi \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}$

İlk kez , sicim teorisi'deki, varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv.\!}$

Şimdi, ${\displaystyle u\equiv a^{2}}$, ${\displaystyle v\equiv b^{2}}$,yazalım,böylece

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,db\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,da\,db.\end{aligned}}\!}$

Kutupsal koordinatlara dönüşümü ${\displaystyle a=r\cos \theta }$, ${\displaystyle b=r\sin \theta }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,dr\,d\theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,dr\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,d\theta \\&{}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,d(r^{2})4\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)2\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}$

Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa

${\displaystyle f(u):=e^{-u}u^{x-1}1_{\mathbb {R} _{+}}}$ and ${\displaystyle g(u):=e^{-u}u^{y-1}1_{\mathbb {R} _{+}}}$, sonuç kolayca:

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\left(\int _{\mathbb {R} }f(u)du\right)\left(\int _{\mathbb {R} }g(u)du\right)=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)du=\mathrm {B} (x,y)\,\Gamma (x+y)}$.

Türevleri

türevleri sırasıyla:

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}$

burada ${\displaystyle \ \psi (x)}$ digama fonksiyonu'dur.

Integralleri

beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .

Yaklaşıklıklar

Asimptotik formül,'nı verir.

x büyük y büyük ise,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}$

diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$

Tamamlanmamış beta fonksiyonu

Tamamlanmamış demek integralin bir sinirinin kapali(burada 0dan x'a) diğer sinirinin açik olmasi demektir. Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.

Tanımı

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}$

x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasında da vardır..

düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}$

a ve b tam sayı değerleri için bilinen integral dışında ( kullanılabilir):

${\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}$

Binom dağılımı'nın, bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir ve burada :

${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1).}$

Özellikler

${\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}$

${\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}$

${\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}$

(Listede diğer birçok özellikler olabilir.)

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Beta dağılımı
• Binom dağılımı
• ,sonlu alanlar üzerinde beta fonksiyonunun analogları.
• Negatif binom dağılımı
• Gama fonksiyonu

Kaynakça

• M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5)24 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
• W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
• Beta fonksiyonu, PlanetMath.org.
• Arbitrarily accurate values can be obtained from The Wolfram Functions Site10 Ekim 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., Evaluate Beta Regularized Incomplete beta 14 Haziran 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .

Dış bağlantılar

• Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde . - C and C++ language special functions math library