Vikipedi özgür ansiklopedi Denklemlerde eşitliği sembolik olarak göstermek için kullanılan eşittir işareti Matematikte e

Vikipedi ozgur ansiklopedi Denklemlerde esitligi sembolik olarak gostermek icin kullanilan esittir isareti Matematikte esitlik iki niceligin veya ifadenin ayni degere sahip oldugunu veya ayni matematiksel nesneyi temsil ettigini belirten bir iliskidir A ve B arasindaki esitlik esittir isareti ile A B seklinde gosterilir ve A B ye esittir seklinde okunur Yazili bir esitlik ifadesi baglama bagli olarak denklem veya olarak adlandirilir iki nesneye farkli denir Esitlik genellikle bir olarak kabul edilir yani bicimsel olarak tanimlanmaz bunun yerine gayri resmi olarak bir seyin kendisine ve baska hicbir seye karsi tasidigi iliski oldugu soylenir Bu nitelendirme belirgin bir sekilde donguseldir baska hicbir seye bu da kavrami tam olarak nitelendirmenin genel kavramsal zorlugunu yansitir ve gibi esitlikle ilgili temel ozellikler en azindan Antik Yunanlardan beri sezgisel olarak anlasilmis olsa da 19 yuzyilin sonlarinda Giuseppe Peano tarafindan genel baginti ozellikleri olarak sembolik bir sekilde ifade edilene kadar resmiyete dokulmemistir ve gibi diger ozellikler sembolik mantigin gelisimine kadar bicimsel olarak ifade edilmemistir Matematikte esitligin bicimsellestirilmesinin genellikle iki yolu vardir mantik yoluyla veya kume teorisi yoluyla Mantikta esitlik yansima ozelligine ozdeslik ilkesi denir ve yerine koyma ozelligine sahip primitif bir olabilen bir onerme Bunlardan esitlik icin genellikle ihtiyac duyulan diger ozellikler turetilebilir 20 yuzyilin basindaki sonra kume teorisi ozellikle Zermelo Fraenkel kume teorisi en yaygin matematik temeli haline geldi Kume teorisinde herhangi iki kume ayni elemanlara sahiplerse esit olarak tanimlanir Buna axiom of extensionality denir Etimoloji span Modern notasyon kullanilarak 14x 15 71 displaystyle 14x 15 71 seklinde ifade edilen bir denklemde esittir isaretinin ilk kullanimi tarafindan yazilan 1557 eserinden Recorde un isaretini tanitimi Ve su kelimelerin biktirici tekrarindan kacinmak icin esittir islerimde siklikla kullandigim gibi bir cift paralel veya ikiz ayni uzunlukta cizgi koyacagim soyle cunku hicbir 2 sey bundan daha esit olamaz Turkcedeki esit kelimesi birbiriyle ayni olan denk anlamina gelir Ingilizcedeki equal kelimesi ise Latince Latince aequalis benzer kiyaslanabilir ayni kelimesinden turetilmistir ve bu kelime de Latince aequus seviyeli adil kokunden gelir Daha genel olarak esit kelimesinin diller arasi es anlamlilari tarih boyunca daha genis bir sekilde kullanilmistir bkz Geometri 16 yuzyildan once esitlik icin ortak bir sembol yoktu ve esitlik genellikle aequales aequantur esgale faciunt ghelijck veya gleich gibi kelimelerle ve bazen de kisaltilmis bicimi aeq veya basitce ae ve œ ile ifade edilirdi Diophantus un y MS 250 eserinde Grekce ἴsos isos esittir kelimesinin kisaltmasi olan ἴs kullanmasi bir esittir isaretinin ilk kullanimlarindan biri olarak kabul edilir Gunumuzde matematikte esitlik icin evrensel olarak kabul edilen isareti ilk olarak Galli matematikci tarafindan olumunden sadece bir yil once 1557 adli eserde kaydedilmistir Sembolun orijinal bicimi simdiki biciminden cok daha genisti Recorde kitabinda sembolunu Latince Latince gemellus ikiz kelimesinden gelen Gemowe cizgileri ikiz cizgiler olarak aciklar ve esitligi temsil etmek icin iki paralel cizgi kullanir cunku hicbir iki seyin bundan daha esit olamayacagina inaniyordu Recorde un sembolu hemen populer olmadi Tanitilmasindan sonra 1618 e 61 yil sonra kadar John Napier in eserinin tarafindan yapilan Ingilizce cevirisindeki isimsiz bir Ek te gorunene kadar basili olarak tekrar kullanilmadi 1631 yilina kadar Ingiltere de genel bir taninirliktan fazlasini elde edemedi ancak o tarihten sonra birkac etkili eserde esitlik sembolu olarak benimsendi Daha sonra basta Isaac Newton ve Gottfried Leibniz olmak uzere bircok etkili matematikci tarafindan kullanildi ve o donemde kalkulusun yayginlasmasi nedeniyle Avrupa nin geri kalanina hizla yayildi Temel ozellikler span Her a icin a a Her a ve b icin eger a b ise o zaman b a Her a b ve c icin eger a b ve b c ise o zaman a c Gayri resmi olarak bu sadece su anlama gelir eger a b ise o zaman a herhangi bir matematiksel ifadede veya formulde anlami degistirmeden b nin yerine gecebilir Bicimsel bir aciklama icin bkz Aksiyomlar Ornegin Verilen reel sayilar a ve b icin eger a b ise o zaman a gt 0 displaystyle a gt 0 b gt 0 displaystyle b gt 0 olmasini gerektirir Her a ve b ve bir f x displaystyle f x fonksiyonu icin eger a b ise o zaman f a f b displaystyle f a f b olur Ornegin Verilen tam sayilar a ve b icin eger a b ise o zaman 3a 1 3b 1 displaystyle 3a 1 3b 1 Burada f x 3x 1 displaystyle f x 3x 1 Verilen bir a degiskeni uzerindeki gercel fonksiyonlar g displaystyle g ve h displaystyle h icin eger tum a degerleri icin g a h a displaystyle g a h a ise o zaman tum a degerleri icin ddag a ddah a textstyle frac d da g a frac d da h a olur Burada f x dxda textstyle f x frac dx da Fonksiyonlar uzerinde bir fonksiyon yani bir turev olarak adlandirilir Ilk uc ozellik genellikle bu ozellikleri Latince 1889 adli eserinde esitligin temel ozellikleri olarak acikca ifade eden ilk kisi olmasi nedeniyle Giuseppe Peano ya atfedilir Ancak temel kavramlar her zaman var olmustur ornegin Oklid in Elemanlari nda y MO 300 ortak kavramlar i icerir Ayni seye esit olan seyler birbirine de esittir gecisme Birbiriyle cakisan seyler birbirine esittir yansima ve toplama ve cikarma icin bazi fonksiyon uygulama ozellikleri Fonksiyon uygulama ozelligi Peano nun Latince Arithmetices principia eserinde de belirtilmistir ancak bu en azindan Diophantus tan y MS 250 beri cebirde yaygin bir uygulamaydi Yerine koyma ozelligi genellikle Gottfried Wilhelm Leibniz e y 1686 atfedilir ve siklikla Leibniz Yasasi olarak adlandirilir Denklemler span Teraziler cebir ogrencilerinin denklemlerin bilinmeyen degerleri belirlemek icin nasil donusturulebilecegini gorsellestirmelerine yardimci olmak icin kullanilir Bir denklem iki matematiksel ifadenin bir esittir isareti ile baglandigi sembolik bir esitliktir Cebir matematigin denklem cozme ile ilgilenen dalidir belirtilen esitligin dogru oldugu bilinmeyen adi verilen bazi degiskenlerin degerlerini bulma problemi Denklemin saglandigi bilinmeyenin her degerine verilen denklemin bir cozumu denir buna denklemi saglamak da denir Ornegin x2 6x 5 0 displaystyle x 2 6x 5 0 denkleminin tek cozumleri x 1 displaystyle x 1 ve x 5 displaystyle x 5 degerleridir Bu terminoloji birden fazla bilinmeyeni olan denklemler icin de benzer sekilde kullanilir Bir denklemin veya cozumler kumesine denir Matematik egitiminde ogrencilere denklemlerin somut modellerine ve gorsellestirmelerine guvenmeleri ogretilir bunlar arasinda geometrik analojiler cubuklar veya kaplar gibi manipulatifler ve denklemleri akis diyagramlari olarak temsil eden fonksiyon makineleri bulunur Bir yontem ogrencilerin temel cebir problemlerini kavramalarina yardimci olmak icin resimsel bir yaklasim olarak terazileri kullanir Terazi uzerindeki bazi nesnelerin kutlesi bilinmemektedir ve degiskenleri temsil eder Bir denklemi cozmek terazinin her iki tarafina dengenin bozulmamasi sartiyla tek bir tarafta sadece bilinmeyen kutleli nesne kalana kadar nesne ekleyip cikarmaya karsilik gelir Genellikle denklemler dogru veya yanlis olabilen bir ifade veya olarak kabul edilir Ornegin 1 1 2 displaystyle 1 1 2 dogrudur ve 1 1 3 displaystyle 1 1 3 yanlistir Bilinmeyenleri olan denklemler olarak kabul edilir ornegin x2 6x 5 0 displaystyle x 2 6x 5 0 x 1 displaystyle x 1 veya x 5 displaystyle x 5 oldugunda dogru aksi takdirde yanlistir Bunun icin birkac farkli terminoloji vardir Matematiksel mantikta bir denklem belirli ozellikleri saglayan iki terimli bir yani olabilen bir Bilgisayar bilimlerinde bir denklem dogru ve yanlis icin sirasiyla 1 ve 0 donduren mantiksal degerli bir veya olarak tanimlanir Ozdeslikler span Bir ozdeslik belirli bir alandaki degiskenlerinin tum degerleri icin dogru olan bir esitliktir Bir denklem bazen bir ozdeslik anlamina gelebilir ancak cogunlukla degisken uzayinin denklemin dogru oldugu bir alt kumesini belirtir Bir ornek x 1 x 1 x2 2x 1 displaystyle left x 1 right left x 1 right x 2 2x 1 ifadesidir ki bu her x displaystyle x reel sayisi icin dogrudur Bir denklemi bir ozdeslikten veya esitlik iliskisinin diger kullanimlarindan ayiran standart bir notasyon yoktur ifadelerin anlambiliminden ve baglamdan uygun bir yorum tahmin edilmelidir Bazen ancak her zaman degil bir ozdeslik ile yazilir x 1 x 1 x2 2x 1 displaystyle left x 1 right left x 1 right equiv x 2 2x 1 Bu notasyon Bernhard Riemann tarafindan 1857 tarihli Almanca Elliptische Funktionen derslerinde 1899 da yayinlandi tanitilmistir Alternatif olarak ozdeslikler fonksiyonlarin esitligi olarak gorulebilir burada her a icin f a g a displaystyle text her a text icin f a g a yazmak yerine basitce f g displaystyle f g yazilabilir Buna fonksiyonlarin extensionality denir Bu anlamda fonksiyon uygulama ozelligi yani bileske veya turev gibi fonksiyon uzayi uzerindeki fonksiyonlar arasinda esleme yapan fonksiyonlar islemlere atifta bulunur ve yaygin olarak kullanilir Bir ozdeslik normal bir denkleme benzer sekilde cozulebilen ve bilinmeyen olarak fonksiyonlar iceren barindirabilir Turevleri iceren bir fonksiyonel denkleme diferansiyel denklem denir Tanimlar span Denklemler genellikle sabitler icin yeni terimler veya semboller tanitmak esitlikleri ve tanim geregi esit olarak adlandirilan ve genellikle displaystyle ile gosterilen karmasik ifadeler icin kisaltma tanitmak amaciyla kullanilir Bu bilgisayar bilimlerindeki bir degiskene kavramina benzer Ornegin e n 0 1n textstyle mathbb e sum n 0 infty frac 1 n Euler sayisini tanimlar ve i2 1 displaystyle i 2 1 i displaystyle i sanal sayisinin tanimlayici ozelligidir Matematiksel mantikta buna bir olan esitlik yoluyla denir Bu yeni sabit sembolunu tanimlayan denklemin yeni bir aksiyomu olarak alinmasiyla yapilir Tanim geregi esit in ilk kayitli sembolik kullanimi Italyan matematikci Cesare Burali Forti nin Logica Matematica 1894 adli eserinde gorulmustur Burali Forti kitabinda Def displaystyle text Def notasyonunu kullanmistir Mantikta span Tarihce span Aristoteles Kategoriler MO y 350 adli eserinde niceligi olan esitlik uzerinden tanimlamis nicelik olmayanlarin diger seylerle esit veya esit degil olarak degerlendirilemeyecegini belirtmistir Esitlik genellikle bir olarak kabul edilir ve gayri resmi olarak bir seyin kendisine karsi tasidigi ve baska hicbir seye karsi tasimadigi bir iliski oldugu soylenir Bu gelenek en azindan Aristoteles e kadar izlenebilir Aristoteles Kategoriler MO y 350 adli eserinde nicelik kavramini veya farkli olan daha ilkel bir esitlik acisindan tanimlayarak sunlari belirtir Niceligin en ayirt edici ozelligi esitlik ve esitsizligin ona yuklenmesidir Sozu edilen niceliklerin her birine esit veya esit degil denir Ornegin bir kati cisme digerine esit veya esit degil denir sayi da zaman da bu terimlerin kendilerine uygulanmasina sahip olabilir aslinda bahsedilen tum nicelik turleri buna sahip olabilir Nicelik olmayan bir sey oyle gorunuyor ki hicbir sekilde baska bir seye esit veya esit degil olarak adlandirilamaz Belirli bir egilim veya beyazlik gibi belirli bir nitelik baska biriyle esitlik ve esitsizlik acisindan degil daha ziyade benzerlik acisindan karsilastirilir Bu nedenle esit ve esit degil olarak adlandirilabilmesi niceligin ayirt edici ozelligidir tarafindan Ingilizceye cevrilmistir Aristo nicelikler sayi uzunluk hacim ve nitelikler sicaklik yogunluk basinc icin ayri kategorilere sahipti bunlara simdi denir Skolastikler ozellikle 14 yuzyilda ve diger kinematik ve niteliklerin nicel analizi uzerine ciddi sekilde dusunmeye basladilar Ornegin iki alev su uzerinde ayni etkiyi yaratiyorsa ornegin isitma veya kaynama ayni isi yogunluguna sahiptir Iki yogunlugun esit oldugu gosterilebildiginden ve esitlik niceliklerin tanimlayici ozelligi kabul edildiginden bu o yogunluklarin olculebilir oldugu anlamina geliyordu Esitligin yerine koyma ozelliginin oncusu ilk kez Gottfried Leibniz tarafindan Discourse on Metaphysics 1686 adli eserinde formule edilmis ve kabaca Iki farkli sey tum ozelliklere ortak olarak sahip olamaz denilmistir Bu o zamandan beri iki ilkeye ayrilmistir yerine koyma ozelligi eger x y displaystyle x y ise x displaystyle x in herhangi bir ozelligi y displaystyle y nin de ozelligidir ve bunun olan eger x displaystyle x ve y displaystyle y tum ozelliklere ortak olarak sahipse o zaman x y displaystyle x y olur 20 yuzyilin baslarinda esitligin daha somut bir aciklamasina sahip olmak gerekli hale gelecekti 1879 da Gottlob Frege mantigin odagini nesne siniflarina odaklanan Aristo mantigindan modern haline gelecek olan ozellik tabanli bir yapiya kaydiracak olan oncu metni i yayinlayacakti Bunu matematigi mantiksal temellerle tanimlama hareketi olan logicism izledi Bu egilim ozellikle matematiksel mantik ve analitik felsefede ve yoluyla esitligin aksiyomatiklestirilmesine yol acti Daha sonra Frege nin Aritmetigin Temelleri The Foundations of Arithmetic 1884 ve Aritmetigin Temel Yasalari Basic Laws of Arithmetic 1893 1903 eserleri matematigin temellerini Begriffsschriftte gelistirilen mantiksal sistemden turetmeye calisacakti Bunun Russell paradoksuna izin vermesi nedeniyle kusurlu oldugu gosterilecek ve matematigin temelleri krizine katkida bulunacakti Frege nin calismasi sonunda Bertrand Russell ve Alfred Whitehead tarafindan Latince Principia Mathematica 1910 1913 olarak bilinen uc ciltlik bir calismayla cozulecekti Russell ve Whitehead in calismasi ayrica Leibniz Yasasi ni sembolik mantiga tanitacak ve resmilestirecekti burada bu yasanin kendi axiom of reducibility kaynaklandigini iddia ettiler ancak fikir icin Leibniz e atifta bulundular Aksiyomlar span dik 1 1Ozdeslik yasasi Her seyin kisitlama olmaksizin kendisiyle ozdes oldugunu belirtir Yani a displaystyle a icin a a displaystyle a a Bu geleneksel ilkidir Yukaridaki ifade sembolik olarak soyle belirtilebilir a a a displaystyle forall a a a Genel olarak eger iki sey esitse birinin herhangi bir ozelliginin digerinin de bir ozelligi olmasi gerektigini belirtir Bazen Leibniz in yasasi olarak adlandirilir Bicimsel olarak soyle ifade edilebilir her a ve b ve bir x iceren herhangi bir ϕ x displaystyle phi x icin eger a b displaystyle a b ise o zaman ϕ a displaystyle phi a ϕ b displaystyle phi b yi Yukaridaki ifade sembolik olarak soyle belirtilebilir a b ϕ a ϕ b displaystyle a b implies bigl phi a Rightarrow phi b bigr Fonksiyon uygulama da bazen esitlik aksiyomlarina dahil edilir ancak diger iki aksiyomdan cikarilabildigi icin gerekli degildir simetri ve gecisme icin de aynisi gecerlidir bkz Temel ozelliklerin turetilmesi bunlar bunlarin her biri sonsuz bir aksiyom kumesi belirtir Eger bir teori ozdeslik yasasini ve yerine koyma ozelligini saglayan bir yukleme sahipse esitlige sahip oldugu veya esitlik iceren bir teori oldugu soylenir Burada esitlik kullanimi biraz cunku esitlige sahip herhangi bir sistem standart ozdeslik icermeyen ve indiscernibles iceren bir teori ile modellenebilir Ancak bu iki aksiyom ozdeslige sahip bir modelle izomorfik olacak kadar gucludur yani bir sistem bu aksiyomlari saglayan bir yukleme standart esitlik olmaksizin sahipse o sistemin standart esitlik iceren bir modeli vardir Bu nesneleri orijinal esitligin olan yeni bir tanimlanarak yapilabilir Eger bir model esitlige sahip olarak yorumlanirsa o zaman bu ozellikler yeterlidir cunku x displaystyle x y displaystyle y ile ayni ozelliklere sahipse ve x displaystyle x x displaystyle x e esit olma ozelligine sahipse o zaman y displaystyle y x displaystyle x e esit olma ozelligine sahiptir Aksiyomlar olarak universal instantiation kullanilarak ilkinden ve a b displaystyle a b ve ϕ a displaystyle phi a verildiginde kosullu bir onerme ve onculu dogru olarak verildiginde sonucun da dogru cikabilecegi ilkesi iki kez kullanarak ikinciden Alternatif olarak bunlardan her biri mantiga olarak dahil edilebilir Ilki esitlik ekleme ve ikincisi esitlik cikarma veya olarak adlandirilir ve gibi bazi teorik bilgisayar bilimcileri tarafindan ve otomatik teorem kanitlama calismalarinda kullanilir Yerine koyma ozelligi naif bir sekilde uygulandiginda yanlis ifadeler uretebilir Ornegin eger n displaystyle n gunes sistemindeki gezegenlerin sayisi ni belirtiyorsa Johannes Kepler n gt 6 displaystyle n gt 6 oldugunu bilmiyordu ifadesi dogrudur cunku Uranus ve Neptun onun olumunden sonra kesfedilmistir Ancak n 8 displaystyle n 8 oldugundan yerine koyma ozelligi uygulandiginda Johannes Kepler 8 gt 6 displaystyle 8 gt 6 oldugunu bilmiyordu ifadesi elde edilir ki bu yanlistir Buradaki fark gezegenlerin sayisi ve 8 ifadeleri ayni nesneye extension atifta bulunsa da farkli anlamlara intension sahip olmalaridir Bu nedenle yerine koyma ozelligi yalnizca garanti edilebilir bu da modern matematikte kaplamlilik aksiyomu ile garanti altina alinmistir Temel ozelliklerin turetilmesi span Yansima Herhangi bir a displaystyle a ifadesi verildiginde ozdeslik yasasi geregi a a displaystyle a a Simetri a b displaystyle a b verildiginde ϕ x x a displaystyle phi x x a formulunu alin Buna gore a b a a b a displaystyle a b implies a a Rightarrow b a Varsayim geregi a b displaystyle a b ve yansima geregi a a displaystyle a a oldugundan b a displaystyle b a oldugu sonucu cikar Gecisme a b displaystyle a b ve b c displaystyle b c verildiginde ϕ x x c displaystyle phi x x c formulunu alin Buna gore b a b c a c displaystyle b a implies b c Rightarrow a c Simetri geregi b a displaystyle b a ve varsayim geregi b c displaystyle b c oldugundan a c displaystyle a c oldugu sonucu cikar Fonksiyon uygulama Bir f x displaystyle f x fonksiyonu ve a b olacak sekilde a ve b ifadeleri verildiginde ϕ x f a f x displaystyle phi x f a f x formulunu alin Buna gore a b f a f a f a f b displaystyle a b implies f a f a Rightarrow f a f b Varsayim geregi a b displaystyle a b ve yansima geregi f a f a displaystyle f a f a oldugundan f a f b displaystyle f a f b oldugu sonucu cikar Kume teorisinde span iki cokgen kumesi Bu kumeler esittir cunku duzenlemeleri farkli olsa da ikisi de ayni elemanlara sahiptir Kume teorisi gayri resmi olarak nesnelerin koleksiyonlari olarak tanimlanabilen kumeleri inceleyen matematik dalidir Her turlu nesne bir kume icinde toplanabilse de kume teorisi matematigin bir dali olarak cogunlukla bir butun olarak matematikle ilgili olanlarla ilgilenir Kumeler elemanlari tarafindan benzersiz bir sekilde karakterize edilir bu tam olarak ayni elemanlara sahip iki kumenin esit oldugu ayni kume olduklari anlamina gelir formalized set theory bu genellikle axiom of extensionality adi verilen bir aksiyom ile tanimlanir Ornegin set builder notation kullanilarak asagidakiler formulasyondaki farkliliklara ragmen 0 dan buyuk ancak 3 ten fazla olmayan tum tamsayilar Z displaystyle mathbb Z kumesi yalnizca 1 2 ve 3 u iceren kumeye esittir ifadesini belirtir x Z 0 lt x 3 1 2 3 displaystyle x in mathbb Z mid 0 lt x leq 3 1 2 3 Kaplamlilik Aksiyomu nda kullanilan kaplamlilik extensionality teriminin kokleri mantik ve dilbilgisine dayanir krs Dilbilgisinde bir bir terimin bir nesneye uygulanmasi icin kosullari aciklar Ornegin Bir Platonik cisim uc boyutlu Oklid uzayinda Bir kaplamsal tanim ise terimin gecerli oldugu tum nesneleri listeler Ornegin Bir Platonik cisim sunlardan biridir Dortyuzlu Kup Sekizyuzlu veya Mantikta bir yuklemin dogru oldugu tum nesnelerin kumesidir Ayrica mantiksal ilkesi iki nesnenin ayni dissal ozellikleri saglamasi durumunda esit olduguna hukmeder Aksiyom geregi iki kume uyeligi sagliyorsa esit olarak tanimlandigindan kumeler kaplamsaldir Jose Ferreiros ilkeyi acikca ifade eden ilk kisinin Richard Dedekind oldugunu belirtir ancak Dedekind bunu bir tanim olarak ileri surmemistir Siklikla olur ki herhangi bir nedenle ortak bir bakis acisi altinda dusunulen farkli a b c seyleri zihinde bir araya toplanir ve sonra bunlarin bir S sistemi olusturdugu soylenir a b c seylerine S sisteminin elemanlari denir bunlar S de icerilir tersine S bu elemanlardan olusur Boyle bir S sistemi veya bir koleksiyon bir cokluk bir butunluk dusuncemizin bir nesnesi olarak ayni sekilde bir seydir her sey icin onun S nin bir elemani olup olmadigi belirlendiginde tamamen belirlenmis olur Richard Dedekind 1888 Jose Ferreiros tarafindan Ingilizceye cevrilmistir Arka plan span Ernst Zermelo tanimi ilk kez 1908 de yayinlanan bir parcasi olarak kume esitligini acikca formulize eden ilk kisiydi 20 yuzyilin baslarinda matematik cesitli paradokslar ve sezgiye aykiri sonuclarla karsi karsiya kaldi Ornegin Russell paradoksu naif kume teorisinin bir celiskisini gosterdi paralel postulatinin kanitlanamayacagi gosterildi hesaplanamayan veya acikca tanimlanamayan matematiksel nesnelerin varligi ve Peano aritmetigi ile kanitlanamayan aritmetik teoremlerinin varligi ortaya cikti Sonuc bir matematigin temelleri krizi oldu Bu krizin cozumu matematik icinde bicimsel mantigi inceleyen matematiksel mantik adli yeni bir matematiksel disiplinin yukselisini iceriyordu 20 yuzyilda yapilan kesifler matematigin temellerini stabilize etti ve disiplinin tum dallari icin gecerli tutarli bir cerceve uretti Bu cerceve sistematik kullanimina ve ozellikle Ernst Zermelo ve Abraham Fraenkel tarafindan gelistirilen Zermelo Fraenkel kume teorisine dayanmaktadir Bu kume teorisi ve genel olarak kume teorisi artik en yaygin matematik temeli olarak kabul edilmektedir 73 Esitlik iceren birinci derece mantiga dayali kume esitligi span Esitlik iceren birinci basamak mantikta kaplamlilik aksiyomu ayni elemanlari iceren iki kumenin ayni kume oldugunu belirtir Mantik aksiyomu x y z z x z y displaystyle x y implies forall z z in x iff z in y Mantik aksiyomu x y z x z y z displaystyle x y implies forall z x in z iff y in z Kume teorisi aksiyomu z z x z y x y displaystyle forall z z in x iff z in y implies x y Ilk ikisi birinci dereceden mantiktaki esitligin yerine koyma ozelligi ile verilir sonuncusu ise teorinin yeni bir aksiyomudur Isin yarisinin birinci dereceden mantiga dahil edilmesi Azriel Levy tarafindan belirtildigi gibi sadece bir kolaylik meselesi olarak gorulebilir Birinci derece yuklem kalkulusunu esitlik ile ele almamizin nedeni bir kolaylik meselesidir bununla esitligi tanimlama ve tum ozelliklerini kanitlama zahmetinden kurtuluruz bu yuk artik mantik tarafindan ustlenilir Esitlik icermeyen birinci derece mantiga dayali kume esitligi span Esitlik icermeyen birinci dereceden mantikta iki kume ayni elemanlari iceriyorlarsa esit olarak tanimlanir O zaman kaplamlilik aksiyomu iki esit kumenin ayni kumeler icinde yer aldigini belirtir Kume teorisi tanimi x y z z x z y displaystyle x y forall z z in x iff z in y Kume teorisi aksiyomu x y z x z y z displaystyle x y implies forall z x in z iff y in z Veya esdeger olarak tum tumel evetlemesi olarak yerine koyma ozelligini acikca taklit edecek sekilde esitligi tanimlamak secilebilir Kume teorisi tanimi x y z z x z y w x w y w displaystyle x y forall z z in x implies z in y land forall w x in w implies y in w Kume teorisi aksiyomu z z x z y x y displaystyle forall z z in x iff z in y implies x y Her iki durumda da esitlik icermeyen birinci dereceden mantiga dayali kaplamlilik aksiyomu ayni elemanlari iceren kumelerin her zaman ayni kumeler icinde yer aldigini belirtir z z x z y w x w y w displaystyle forall z z in x iff z in y implies forall w x in w iff y in w Temel ozelliklerin kaniti span Yansima Bir X displaystyle X kumesi verildiginde z X displaystyle z in X oldugunu varsayalim z X displaystyle z in X oldugu asikardir ve aynisi tersi icin de gecerlidir bu nedenle z z X z X displaystyle forall z z in X iff z in X dolayisiyla X X displaystyle X X Simetri X Y displaystyle X Y olacak sekilde X Y displaystyle X Y kumeleri verildiginde z z X z Y displaystyle forall z z in X iff z in Y bu da z z Y z X displaystyle forall z z in Y iff z in X anlamina gelir dolayisiyla Y X displaystyle Y X Gecisme X Y Z displaystyle X Y Z kumeleri verildiginde oyle ki X Y displaystyle X Y ve Y Z displaystyle Y Z z X displaystyle z in X oldugunu varsayalim O zaman 1 geregi z Y displaystyle z in Y olur bu da 2 geregi z Z displaystyle z in Z anlamina gelir ve tersi icin de benzer sekilde gecerlidir Boylece z z X z Z displaystyle forall z z in X iff z in Z dolayisiyla X Z displaystyle X Z Yerine Koyma Bkz Fonksiyon uygulama a b displaystyle a b ve f a c displaystyle f a c verildiginde a c f displaystyle a c in f a b displaystyle a b ve c c displaystyle c c oldugundan a c b c displaystyle a c b c Bu bir tanimlayici ozelligidir a c b c displaystyle a c b c oldugundan kaplamlilik aksiyomu geregi ayni kumelere ait olmalidirlar Boylece a c f displaystyle a c in f oldugundan b c f displaystyle b c in f veya f b c displaystyle f b c oldugu sonucu cikar Bu nedenle f a f b displaystyle f a f b Benzer bagintilar span Yaklasik esitlik span Birim cemberi duzgun n kenarli cokgenlerin cevreleriyle verilen dizi 2p displaystyle 2 pi ye yaklasir Sayisal analiz matematiksel analizdeki problemlere cozum bulmak icin sembolik islemlerin aksine sayisal bulmaya yonelik constructive proof yontemlerin ve algoritmalarin incelenmesidir Ozellikle problemler icin closed form expressions Hesaplamalarin ve diger icermesi muhtemeldir Logaritma tablolari surgulu hesap cetvelleri ve hesap makineleri en basit hesaplamalar disindakiler icin yaklasik cevaplar uretir Bilgisayar hesaplamalarinin sonuclari normalde sinirli sayida anlamli basamakla ifade edilen bir yaklasimdir ancak daha kesin sonuclar uretmek icin programlanabilirler Eger yaklasik esitlik reel sayilar veya diger seyler arasinda bir displaystyle approx sembolu ile gosterilir olarak gorulurse gecisli olmamasi nedeniyle herhangi bir kesin tanimi bir denklik bagintisi olmayacaktir Bu bir olarak modellendiginde bile gecerlidir Bilgisayar bilimlerinde esitlik kullanilarak ifade edilir Bilgisayarlarda fiziksel kisitlamalar sayilarin temsil edilebilecegi kesinlik duzeyini temelden sinirlar Bu nedenle reel sayilar genellikle kayan noktali sayilar ile yaklastirilir Her kayan noktali sayi belirli bir tabanda sabit uzunlukta bir basamak dizisinden olusan bir significand ile temsil edilir ve bu radix point anlamli kisim icindeki her olasi konum arasinda yuzmesini saglayan soz konusu tabanin bir tamsayi ussu ile olceklendirilir Bu bircok buyukluk mertebesine yayilan sayilarin temsil edilmesine izin verir ancak yalnizca buyuklukleri arttikca daha az kesin hale gelen bulanik deger araliklari olarak Kesinlik kaybini onlemek icin bilgisayarlarda reel sayilari reel sayiyi ifade eden bir biciminde temsil etmek yaygindir Ancak bir ifade ile verilen iki reel sayinin esitliginin oldugu bilinmektedir ozellikle tam sayilari temel aritmetik islemleri logaritmayi ve ustel fonksiyonu iceren ifadelerle tanimlanan reel sayilar Baska bir deyisle boyle bir esitlige karar vermek icin herhangi bir algoritma var olamaz bkz Denklik bagintisi span 7 sinifli bir ornek denkligin grafigi Bir denklik bagintisi benzerlik veya aynilik fikrini genellestiren bir Bir X displaystyle X kumesi uzerinde su uc ozelligi saglayan bir displaystyle sim olarak tanimlanir ve Yansima X displaystyle X icindeki her elemanin kendisine denk oldugu anlamina gelir her a X displaystyle a in X icin a a displaystyle a sim a Simetri eger bir eleman digerine denkse tersinin de gecerli olmasini gerektirir a b b a displaystyle a sim b implies b sim a Gecisme eger bir eleman ikinciye ve ikinci ucuncuye denkse o zaman birincinin ucuncuye denk olmasini saglar a b displaystyle a sim b ve b c a c displaystyle b sim c implies a sim c Bu ozellikler ayrik parcalamak icin yeterlidir Tersine her parcalanma bir denklik sinifi tanimlar Esitlik denklik bagintisi ozel bir durumdur cunku belirli bir S displaystyle S kumesiyle sinirlandirildiginda S displaystyle S uzerindeki mumkun olan en kati denklik bagintisidir ozellikle esitlik bir kumeyi tum tek nesne kumelerden olusan denklik siniflarina parcalar Diger denklik bagintilari daha az kisitlayici olduklarindan moduler aritmetikteki kongruans veya geometrideki benzerlik gibi paylasilan ozelliklere veya donusumlere dayali olarak elemanlari tanimlayarak esitligi genellestirir Kongruans bagintisi span Soyut cebirde bir a ve b tamsayilari m pozitif tamsayisi ile bolunduklerinde kalanlarinin ayni sayi olmasi seklinde tanimlanan ve a b mod m sembolu ile ifade edilen baginti denklik bagintisi fikrini fonksiyon uygulama ozelligini de icerecek sekilde genisletir Yani bir X displaystyle X kumesi ve X displaystyle X uzerinde bir islem kumesi verildiginde bir displaystyle sim kongruans bagintisi tum f displaystyle f islemleri icin a b f a f b displaystyle a sim b implies f a sim f b ozelligine sahiptir burada hantal notasyondan kacinmak icin birli olarak yazilmistir ancak f displaystyle f herhangi bir bir fonksiyondaki arguman sayisi sahip olabilir Grup halka veya modul gibi bir uzerindeki bir kongruans bagintisi o yapi uzerinde tanimlanan islemlere saygi duyan bir denklik bagintisidir Izomorfizma span Matematikte ozellikle soyut cebir ve kategori teorisinde halihazirda bir ic yapiya sahip olan nesnelerle ugrasmak yaygindir Bir izomorfizma iki nesne arasinda yapi koruyan bir tur eslesmeyi tanimlar ve bunlari yapilari veya ozellikleri acisindan esasen ozdes olarak belirler Daha resmi olarak bir izomorfizma iki kume veya yapi A displaystyle A ve B displaystyle B arasinda f displaystyle f ve tersi f 1 displaystyle f 1 in bu yapilar uzerinde tanimlanan islemleri bagintilari veya fonksiyonlari korudugu birebir ve orten bir eslemedir veya Bu A displaystyle A da gecerli olan herhangi bir islemin veya bagintinin esleme altinda B displaystyle B deki isleme veya bagintiya tam olarak karsilik geldigi anlamina gelir Ornegin grup teorisinde bir f G H displaystyle f G mapsto H tum a b displaystyle a b elemanlari icin f a b f a f b displaystyle f a b f a f b esitligini saglar burada displaystyle grup islemini gosterir Iki nesne veya sistem izomorfik oldugunda elemanlari veya temsilleri farkli olsa bile ic yapilari acisindan ayirt edilemez kabul edilirler Ornegin displaystyle infty mertebeden tum toplama islemi altindaki tamsayilar Z displaystyle mathbb Z ile izomorfiktir Benzer sekilde dogrusal cebirde iki vektor uzayi ayni boyuta sahiplerse izomorfiktir cunku elemanlari arasinda dogrusal bir birebir esleme vardir Izomorfizma kavrami graf teorisi topoloji homeomorfizma ve cebir grup ve dahil olmak uzere matematigin bircok dalina uzanir Izomorfizmalar matematiksel varliklarin siniflandirilmasini kolaylastirir ve sonuclarin ve tekniklerin benzer sistemler arasinda aktarilmasini saglar Izomorfizma ve esitlik arasindaki boslugu doldurmak kategori teorisinin yani sira ve gelistirilmesinin motivasyonlarindan biriydi Geometri span En soldaki iki ucgen birbiriyle ve her ikisi de ucuncu ucgene benzerdir En sagdaki ucgen digerlerinin hicbiriyle ne es ne de benzerdir Geometride bicimsel olarak iki sekil tam olarak ayni noktalari iceriyorsa esittir Ancak tarihsel olarak geometrik esitlik her zaman cok daha genis anlamda ele alinmistir Oklid ve Arsimet esit Grekce ἴsos isos terimini siklikla ayni alana sahip sekiller veya birbirini olusturmak icin kesilip yeniden duzenlenebilen sekiller icin kullanmislardir Ornegin Oklid Pisagor teoremini hipotenus uzerindeki kare kenarlar uzerindeki karelere birlikte alindiginda esittir seklinde ifade etmis ve Arsimet bir daire kenarlari yaricap ve cevrenin yarisi olan dikdortgene esittir demistir Bu kavram Adrien Marie Legendre 1867 de esit alana sahip sekilleri tanimlamak icin denk equivalent terimini tanitana ve esit terimini eslesik congruent ayni sekil ve boyuta sahip veya biri digerinin ile ayni sekil ve boyuta sahip anlaminda ayirana kadar devam etti Oklid in terminolojisi David Hilbert in Grundlagen der Geometrie adli calismasinda devam etti Hilbert Oklid in fikirlerini daha da rafine ederek cokgenlerin sonlu sayida es ucgenlere bolunebilmesi durumunda bolunebilir esit Almanca zerlegungsgleich ve eger her birine sonlu sayida bolunebilir esit cokgen eklendiginde elde edilen cokgenler bolunebilir esit oluyorsa icerik olarak esit Almanca inhaltsgleichheit kavramlarini tanitti Kume teorisinin yukselisinden sonra 1960 lar civarinda Rus geometri derslerini donusumler ve kume teorisi merceginden sunmayi oneren Andrey Kolmogorov u takiben New Math Yeni Matematik adi verilen bir matematik egitimi reformu icin bir baski olustu Bir sekil bir noktalar kumesi olarak goruldugunden yalnizca kendisine esit olabilirdi Kolmogorov un bir sonucu olarak daha once esit olarak adlandirilan sekiller icin okullarda es congruent terimi standart hale geldi ve bu terimi populerlestirdi Oklid oranti ve ayni sekle sahip figurleri ele alsa da benzerlik kavraminin modern anlamda bicimsellestirilmesi 17 yuzyila kadar gerceklesmedi Benzer sekiller ayni sekle sahip olan ancak boyutlari farkli olabilen sekillerdir ve eslik yoluyla birbirlerine donusturulebilirler Daha sonra 1835 te tarafindan yonlu dogru parcalarinin esitligi kavrami olan equipollence gelistirildi Ayrica bakiniz span 2 2 5 BiricikKaynakca span Atiflar span Equality n sense 3 Oxford English Dictionary 2023 doi 10 1093 OED 1127700997 A relation between two quantities or other mathematical expressions stating that the two are the same also an expression of such a relation by means of symbols an equation Rosser 2008 s 163 Clapham Christopher Nicholson James 2009 distinct The Concise Oxford Dictionary of Mathematics Oxford University Press ISBN 978 0 19 923594 0 23 Ocak 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 13 Ocak 2025 a b 1557 The Whetstone of Witte Londra Jhon Kyngstone OL 17888956W Equal Merriam Webster 15 Eylul 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 9 Agustos 2020 a b c Cajori 1928 ss 298 305 2006 Unknown Quantity A Real And Imaginary History of Algebra Joseph Henry Press s 35 ISBN 0 309 09657 X a b c d 1982 College Algebra California Wadsworth s 7 ISBN 978 0 534 01007 2 a b c Landin Joseph 1989 An Introduction to Algebraic Structures New York Dover s 5 ISBN 978 0 486 65940 4 a b c Suppes Patrick 1957 Introduction to Logic PDF New York ss 101 102 LCCN 57 8153 19 Kasim 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi PDF Erisim tarihi 30 Ocak 2026 a b Tao Terence 2022 Analysis I Texts and Readings in Mathematics Cilt 37 Singapore s 284 doi 10 1007 978 981 19 7261 4 ISBN 978 981 19 7261 4 ISSN 2366 8717 a b Grishin V N Equality axioms Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag ISBN 1 4020 0609 8 27 Temmuz 2024 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 30 Ocak 2026 a b Peano Giuseppe 1889 Arithmetices principia nova methodo Latince Fratres Bocca s XIII 30 Aralik 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 30 Ocak 2026 Stebbing 1930 ss 168 169 Heath Thomas Little 1956 The Thirteen Books of Euclid s Elements 2nd 1 Books I and II New York Dover s 222 OCLC 977674956 Heath Thomas Little 1910 Diophantus of Alexandria A Study in the History of Greek algebra Londra Cambridge University Press Forrest Peter 1996 The Identity of Indiscernibles Zalta Edward N Nodelman Uri Ed The Stanford Encyclopedia of Philosophy Winter 2024 Metaphysics Research Lab Stanford University Erisim tarihi 4 Mart 2025 Equation n sense III 6 a Oxford English Dictionary 2023 doi 10 1093 OED 2918848458 A formula affirming the equivalence of two quantitative expressions which are for this purpose connected by the sign Sobolev S K originator Equation 26 Ocak 2025 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Encyclopedia of Mathematics 1402006098 Solution set Merriam Webster 24 Subat 2025 5 Mayis 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 1 Mart 2025 Gardella Francis DeLucia Maria 2020 Algebra for the Middle Grades IAP s 19 ISBN 978 1 64113 847 5 Levin Oscar 2021 Discrete Mathematics An Open Introduction PDF 3rd Oscar Levin s 5 ISBN 978 1 79290 169 0 29 Kasim 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi PDF Erisim tarihi 30 Ocak 2026 a b Mendelson 1964 s 75 Equality and inequality operators XL C C for AIX Documentation IBM 25 Subat 2025 15 Kasim 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 24 Mart 2025 Grishin V N Equation Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag ISBN 1 4020 0609 8 26 Ocak 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 23 Temmuz 2024 Hall Henry Sinclair Algebra for Beginners Samuel Ratcliffe 1895 Algebra for Beginners New York s 52 Marcus Solomon Watt Stephen M What is an Equation Section V Types of Equations and Terminology in Various Languages 15 Haziran 2022 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 27 Subat 2019 Earl Richard Nicholson James 2021 Identity Earl Richard Nicholson James Ed The Concise Oxford Dictionary of Mathematics 6th Oxford University Press doi 10 1093 acref 9780198845355 001 0001 ISBN 978 0 19 884535 5 Cajori 1928 s 417 Kronecker Leopold 1978 1901 Vorlesungen uber Zahlentheorie Almanca Springer s 86 doi 10 1007 978 3 662 24731 0 ISBN 978 3 662 22798 5 Riemann Bernhard Stahl Hermann 1899 Elliptische functionen Almanca B G Teubner Tao Terence 2022 Analysis I Texts and Readings in Mathematics 37 Singapore Springer ss 42 43 doi 10 1007 978 981 19 7261 4 ISBN 978 981 19 7261 4 ISSN 2366 8717 Krabbe 1975 s 7 function extensionality in nLab ncatlab org 5 Mart 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 1 Mart 2025 Levy 2002 s 27 Malik D S Mordeson J M Sen M K 1997 Fundamentals of Abstract Algebra New York McGraw Hill s 83 ISBN 0 07 040035 0 Krabbe 1975 ss 2 3 Small Christopher G Ed 2007 Functional Equations and How to Solve Them Problem Books in Mathematics New York Springer s 1 doi 10 1007 978 0 387 48901 8 ISBN 978 0 387 34534 5 ISSN 0941 3502 Adkins William A Davidson Mark G 2012 Ordinary Differential Equations Undergraduate Texts in Mathematics New York Springer ss 2 5 doi 10 1007 978 1 4614 3618 8 ISBN 978 1 4614 3617 1 ISSN 0172 6056 Lankham Isaiah Nachtergaele Bruno Schilling Anne 21 Ocak 2007 Some Common Mathematical Symbols and Abbreviations with History PDF 27 Kasim 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi PDF Erisim tarihi 30 Ocak 2026 e Encyclopaedia Britannica 14 Ocak 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 13 Ocak 2025 Marecek Lynn Mathis Andrea Honeycutt 6 Mayis 2020 8 8 Use the Complex Number System Intermediate Algebra 2e OpenStax ISBN 978 1 975076 49 8 Erisim tarihi 4 Mart 2025 a b Mendelson 1964 ss 82 83 Burali Forti Cesare 1894 Logica matematica Mathematical logic Italyanca University of California s 120 1 Agustos 2009 tarihinde kaynagindan arsivlendi Lankham Isaiah Nachtergaele Bruno Schilling Anne 7 Kasim 2013 13 3 Some Common Mathematical Symbols and Abbreviations Linear Algebra Mathematics LibreTexts University of California Davis Erisim tarihi 4 Mart 2025 Zalabardo Jose L 2000 Introduction To The Theory Of Logic New York Routledge doi 10 4324 9780429499678 ISBN 978 0 429 49967 8 Categories Edghill E M tarafindan cevrildi The Internet Classics Archive MIT 19 Ocak 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 23 Ocak 2025 1950 Richard Swineshead and Late Medieval Physics I The Intension and Remission of Qualities 1 Osiris Cilt 9 ss 131 161 doi 10 1086 368527 ISSN 0369 7827 JSTOR 301847 Grant Edward 1 Agustos 1972 Nicole Oresme and the medieval geometry of qualities and motions A treatise on the uniformity and difformity of intensities known as tractatus de configurationibus qualitatum et motuum Studies in History and Philosophy of Science Part A 3 2 Clagett Marshall tarafindan cevrildi Madison Milwaukee University of Wisconsin Press ss 167 182 Bibcode 1972SHPSA 3 167G doi 10 1016 0039 3681 72 90022 2 ISSN 0039 3681 Forrest Peter The Identity of Indiscernibles The Stanford Encyclopedia of Philosophy Winter 2020 Edition Edward N Zalta ed Noonan Harold Curtis Ben 2022 Identity Zalta Edward N Nodelman Uri Ed The Stanford Encyclopedia of Philosophy Fall 2022 Metaphysics Research Lab Stanford University 23 Temmuz 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 11 Ocak 2025 a b Russell Bertrand Whitehead Alfred 1910 Principia Mathematica 1 Cambridge University Press s 57 OCLC 729017529 Laws of thought Editor Cambridge University Press p 489 Identity of indiscernibles Encyclopaedia Britannica 12 Ocak 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 12 Ocak 2025 a b c d Hodges Wilfrid 1983 Gabbay D Guenthner F Ed Handbook of Philosophical Logic Dordrecht Springer ss 68 72 doi 10 1007 978 94 009 7066 3 ISBN 978 94 009 7068 7 Deutsch Harry Garbacz Pawel 2024 Relative Identity Zalta Edward N Nodelman Uri Ed The Stanford Encyclopedia of Philosophy Fall 2024 Metaphysics Research Lab Stanford University Erisim tarihi 20 Ocak 2025 Kleene 1967 ss 158 161 Suppes Patrick 1957 Introduction to Logic PDF New York s 103 LCCN 57 8153 19 Kasim 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi PDF Erisim tarihi 30 Ocak 2026 Introduction to Logic Equality logic stanford edu 15 Mayis 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 1 Mart 2025 Nieuwenhuis Robert Rubio Alberto 2001 7 Paramodulation Based Theorem Proving PDF Robinson Alan J A Voronkov Andrei Ed Handbook of Automated Reasoning Elsevier ss 371 444 ISBN 978 0 08 053279 0 16 Ocak 2026 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 30 Ocak 2026 Kleene 1967 s 164 2022 Intensional Logic Zalta Edward N Nodelman Uri Ed Winter 2022 Metaphysics Research Lab Stanford University2 Agustos 2025 a b Mendelson 1964 ss 93 95 a b Mendelson 1964 ss 93 95 Breuer Josef 1958 Introduction to the Theory of Sets Englewood Cliffs New Jersey Prentice Hall s 4 Internet Archive vasitasiyla A set is a collection of definite distinct objects of our perception or of our thought which are called elements of the set Stoll 1963 ss 4 5 Levy 2002 ss 13 358 Mac Lane amp Birkhoff 1999 s 2 Mendelson 1964 s 5 Cook Roy T 2009 A Dictionary Of Philosophical Logic Edinburgh Edinburgh University Press s 155 ISBN 978 0 7486 2559 8 Archived from the original on 5 Mayis 2025 Erisim tarihi 5 Mayis 2025 KB1 bakim BOT esas url durumu bilinmeyen link Mayberry John P 2011 Foundations of Mathematics in the Theory of Sets Encyclopedia of Mathematics and its Applications New York Cambridge University Press ss 74 113 doi 10 1017 CBO9781139087124 ISBN 978 0 521 17271 4 Ferreiros 2007 s 226 Zermelo Ernst 1908 Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre I Mathematische Annalen Almanca 65 2 ss 261 281 doi 10 1007 bf01449999 Ferreiros 2007 s 299 Ferreiros 2007 s 366 en yaygin aksiyom sistemi Zermelo Fraenkel sistemi olarak adlandirildi ve adlandirilmaktadir Kleene 1967 s 189 Levy 2002 s 13 Shoenfield 2001 s 239 Levy 2002 s 4 Mendelson 1964 ss 159 161 Rosser 2008 ss 211 213 Fraenkel Abraham Adolf 1973 Foundations of set theory 2nd revised 67 Amsterdam Noord Holland s 27 ISBN 978 0 7204 2270 2 OCLC 731740381 a b c Takeuti Gaisi Zaring Wilson M 1982 Introduction to Axiomatic Set Theory Graduate Texts in Mathematics 1 New York Springer s 7 doi 10 1007 978 1 4613 8168 6 ISBN 978 1 4613 8170 9 ISSN 0072 5285 Stoll 1963 s 24 Kress Rainer 1998 Numerical Analysis Graduate Texts in Mathematics 181 New York Springer ss 1 4 doi 10 1007 978 1 4612 0599 9 ISBN 978 1 4612 6833 8 ISSN 0072 5285 Numerical Computation Guide 6 Nisan 2016 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 16 Haziran 2013 Kerre Etienne E De Cock Martine 2001 Approximate Equality is no Fuzzy Equality PDF 17 Eylul 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi PDF Erisim tarihi 30 Ocak 2026 Sterbenz Pat H 1974 Floating Point Computation Englewood Cliffs New Jersey Prentice Hall ISBN 0 13 322495 3 Richardson Daniel 1968 Some Undecidable Problems Involving Elementary Functions of a Real Variable Journal of Symbolic Logic 33 4 ss 514 520 doi 10 2307 2271358 JSTOR 2271358 Zbl 0175 27404 Stoll 1963 s 29 a b Stoll 1963 s 31 Stark Harold M 30 Mayis 1978 An Introduction to Number Theory Cambridge Massachusetts MIT Press ss 51 54 ISBN 978 0 262 69060 7 8 Eylul 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 30 Ocak 2026 2 2 1 Similarity Mathematics LibreTexts 10 Subat 2020 21 Mart 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 24 Mart 2025 Hungerford Thomas W 1974 Algebra Graduate Texts in Mathematics 73 New York Springer doi 10 1007 978 1 4612 6101 8 ISBN 978 1 4612 6103 2 ISSN 0072 5285 a b Isomorphism Encyclopaedia Britannica 25 Kasim 2024 13 Aralik 2024 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 12 Ocak 2025 Leinster Tom 30 Aralik 2016 Basic Category Theory s 12 arXiv 1612 09375 Pinter 2010 s 94 Pinter 2010 s 114 Axler Sheldon Linear Algebra Done Right PDF Springer s 86 4 Ocak 2026 tarihinde kaynagindan arsivlendi PDF Erisim tarihi 30 Ocak 2026 Eilenberg S Mac Lane S 1942 Group Extensions and Homology Annals of Mathematics 43 4 ss 757 831 doi 10 2307 1968966 ISSN 0003 486X JSTOR 1968966 Marquis Jean Pierre 2019 Category Theory Stanford Encyclopedia of Philosophy Department of Philosophy Stanford University 12 Eylul 2023 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 26 Eylul 2022 Hofmann Martin 1998 The groupoid interpretation of type theory Sambin Giovanni Smith Jan M Ed Twenty Five Years of Constructive Type Theory Oxford Logic Guides 36 Clarendon ss 83 111 ISBN 978 0 19 158903 4 MR 1686862 Beeson Michael 1 Eylul 2023 On the notion of equal figures in Euclid Beitrage zur Algebra und Geometrie 64 3 ss 581 625 arXiv 2008 12643 doi 10 1007 s13366 022 00649 9 ISSN 2191 0383 Legendre Adrien Marie 1867 Elements of geometry Cornell University Library Baltimore Kelly amp Piet s 68 Clapham C Nicholson J 2009 Congruent Figures Oxford Concise Dictionary of Mathematics PDF Addison Wesley s 167 29 Ekim 2013 tarihinde kaynagindan PDF arsivlendi Erisim tarihi 2 Haziran 2017 Hilbert David 1899 Grundlagen der Geometrie Almanca Wellesley College Library B G Teubner s 40 Alexander Karp amp Bruce R Vogeli Russian Mathematics Education Programs and Practices Volume 5 pp 100 102 2 2 1 Similarity PreAlgebra Mathematics LibreTexts 10 Subat 2020 Erisim tarihi 4 Mart 2025 Giusto Bellavitis Biography Maths History 4 Mart 2025 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 4 Mart 2025 Bibliyografya span Cajori Florian 1928 A History Of Mathematical Notations Vol I Londra The Open Court Company Publishers Ferreiros Jose 2007 Labyrinth of Thought Basel doi 10 1007 978 3 7643 8350 3 ISBN 978 3 7643 8349 7 1967 Mathematical Logic New York John Wiley amp Sons ISBN 0 471 49033 4 LCCN 66 26747 Krabbe Gregers 1975 Operational Calculus New York Springer Verlag doi 10 1007 978 1 4613 4392 9 ISBN 978 1 4613 4394 3 2002 1979 Basic set theory Mineola New York Dover ISBN 978 0 486 42079 0 Birkhoff Garrett 1999 1967 Algebra Third Providence Rhode Island American Mathematical Society 12 Haziran 2007 When is one thing equal to some other thing PDF 24 Ekim 2019 tarihinde kaynagindan PDF arsivlendi13 Aralik 2009 1964 Introduction to Mathematical Logic Princeton New Jersey Van Nostrand OCLC 1150016253 Pinter Charles C 2010 A Book of Abstract Algebra Dover s 94 ISBN 978 0 486 47417 5 Internet Archive vasitasiyla 2008 1953 Logic for mathematicians Mineola New York Dover ISBN 978 0 486 46898 3 OCLC 227923880 2001 1967 Mathematical Logic 2nd ISBN 978 1 56881 135 2 Stebbing L S 1930 A Modern Introduction To Logic 3rd Londra Methuen amp Co OCLC 1244466095 Stoll Robert Roth 1963 Set Theory and Logic San Francisco W H Freeman LCCN 63 8995 Kategoriler Matematiksel mantikTemel aritmetikGizli kategoriler Yinelenen sablon degiskenleri kullanan sayfalarWebarsiv sablonu wayback baglantilariKB1 bakim BOT esas url durumu bilinmeyenKirmizi baglantiya sahip ana madde sablonu iceren maddelerOtomatik boyutlandirilan coklu resim kullanilan sayfalarMatematik etiketlerinin kullanimdan kaldirilmis bicimini kullanan sayfalar