Bileşke fonksiyon

Bileşke fonksiyon, matematikte bir işlevdir.

${\displaystyle f}$, ${\displaystyle X}$ kümesinden ${\displaystyle Y}$ kümesine giden bir fonksiyonsa, ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle Y}$ kümesinden ${\displaystyle Z}$ kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman ${\displaystyle g\circ f}$ fonksiyonunu her ${\displaystyle x\in X}$ için,

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

kuralıyla tanımlanan ${\displaystyle X}$ kümesinden ${\displaystyle Z}$ kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona ${\displaystyle g}$ ve ${\displaystyle f}$ fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.

Başka bir deyişle, bileşke

${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ ve ${\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}$

fonksiyonlarından

${\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z}$

fonksiyonunu üretir.

${\displaystyle g}$ ve ${\displaystyle f}$ fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun değer kümesi, ${\displaystyle g}$ fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.

Eğer ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle X}$ kümesinden ${\displaystyle Y}$ kümesine, ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle Y}$ kümesinden ${\displaystyle X}$ kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem ${\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow X}$ fonksiyonundan hem de ${\displaystyle f\circ g:Y\longrightarrow Y}$ fonksiyonundan söz edilebilir.

Bileşke, ${\displaystyle X}$'ten ${\displaystyle X}$'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk${\displaystyle (X,\;X)}$ kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id${\displaystyle _{X}}$, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca, Fonk${\displaystyle (X,\;X)}$ kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.

Özellikleri

${\displaystyle X=Y=Z=R}$ (gerçek sayılar kümesi) olsun. ${\displaystyle f}$ fonksiyonu ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ve ${\displaystyle g}$ fonksiyonu ${\displaystyle g(x)=x+1}$ olarak tanımlansın. O zaman,

${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}}$

dir. Ancak

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+1}$

dir. Demek ki

${\displaystyle f\circ g\neq g\circ f}$,

yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.

${\displaystyle X,\,Y,\,Z,\,T}$ dört küme olsun.

${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$,

${\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}$,

${\displaystyle h:Z\longrightarrow T}$

üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:

${\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z}$,

${\displaystyle h\circ (g\circ f):X\longrightarrow T}$,

${\displaystyle h\circ g:Y\longrightarrow T}$,

${\displaystyle (h\circ g)\circ f:X\longrightarrow T}$.

Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$

eşitliği geçerlidir. ${\displaystyle X}$ kümesinden herhangi bir ${\displaystyle x}$ elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu ${\displaystyle x}$ elemanında değerlendirilirse

${\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))}$

ve

${\displaystyle (h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).}$

eşitliklerine ulaşılır.

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani

${\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)}$.

Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$ eşitliği çıkar.