Yönlü türev

Matematikte verilmiş bir P noktasındaki ve V vektörü boyuncaki çok değişkenli bir fonksiyonun yönlü türevi sezgisel olarak fonksiyonun P noktasında, V vektörü boyuncaki anlık değişim oranını temsil eder. Bu yüzden, kısmi türev fikrinin genelleştirmesidir çünkü kısmi türevler alınırken yön her zaman paralel olarak alınmaktadır.

Yönlü türev, özel bir durumudur.

Tanım

Bir ${\displaystyle f({\vec {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ bir ${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ vektörü boyuncaki yönlü türevi

${\displaystyle \nabla _{\vec {v}}{f}({\vec {x}})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {x}}+h{\vec {v}})-f({\vec {x}})}{h}}}$

limiti tarafından verilen fonksiyondur.

Bazı yazarlar ${\displaystyle \nabla _{v}}$ yerine D_v 'yi de kullanmaktadırlar. Eğer ${\displaystyle f}$ fonksiyonu ${\displaystyle {\vec {x}}}$ 'te türevlenebilir ise, o zaman yönlü türev herhangi bir ${\displaystyle {\vec {v}}}$ vektörü boyunca vardır ve

${\displaystyle \nabla _{\vec {v}}{f}({\vec {x}})=\nabla f({\vec {x}})\cdot {\vec {v}}}$

olur. Burada, sağdaki ${\displaystyle \nabla }$ gradyanı, ${\displaystyle \cdot }$ ise temsil etmektedir. Herhangi bir ${\displaystyle {\vec {x}}}$ noktasında, ${\displaystyle f}$ 'nin yönlü türevi, ${\displaystyle f}$ 'deki ${\displaystyle {\vec {v}}}$ vektörü boyunca ${\displaystyle {\vec {x}}}$ noktasındaki değişim oranını temsil etmektedir. Yukarıdaki tanım her ne kadar herhangi bir vektör (hatta sıfır vektörü) için tanımlı olsa da, genelde yönler birimleştirilmiş olarak alınır ki böylece ${\displaystyle {\vec {v}}}$ birim vektör olur.

Özellikler

Sırdan türevin birçok özelliği yönlü türev için de geçerlidir. Bunlar, bir p 'nin komşuluğunda tanımlı ve p 'de olan herhangi bir f ve g fonksiyonları için şu özellikleri kapsar:

• : ${\displaystyle \nabla _{v}(f+g)=\nabla _{v}f+\nabla _{v}g}$
• : Herhangi bir c sabiti için, ${\displaystyle \nabla _{v}(cf)=c\nabla _{v}f}$
• Çarpma kuralı (veya ): ${\displaystyle \nabla _{v}(fg)=g\nabla _{v}f+f\nabla _{v}g}$
• Zincir kuralı: Eğer g, p 'de türevlenebilir ise ve h, g(p) 'de türevlenebilir ise, o zaman

${\displaystyle \nabla _{v}h\circ g(p)=h'(g(p))\nabla _{v}g(p)}$

Diferansiyel geometri

M, bir ve p, M 'nin noktası olsun. f, p 'nin komşuluğunda tanımlı ve p 'de bir fonksiyon olsun. Eğer v M 'ye p noktasında ise, o zaman f 'nin v boyuncaki yönlü türevi (değişik şekillerde ${\displaystyle \nabla _{v}f(p)}$ (), ${\displaystyle L_{v}f(p)}$ () veya ${\displaystyle v_{p}(f)}$ olarak da gösterilir.), şu şekilde tanımlanabilir: γ : [-1,1] → M, γ(0) = p ve γ^'(0) = v olan türevlenebilir bir eğri olsun. O zaman yönlü türev

${\displaystyle \nabla _{v}f(p)=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}}$

ile tanımlanır. Bu tanımın, γ, γ'(0) = v olacak şekilde seçildiği sürece, γ 'nın seçiminden bağımsız olduğu kanıtlanabilir.

Normal türev

Normal türev, uzaydaki bir yüzeye normal (yani dik) yönde veya daha genel bir şekilde bir dik olan alanı boyunca alınan bir yönlü türevdir. Örnek olarak görünüz. Eğer normal yön ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ile gösterilirse, o zaman ƒ 'nin yönlü türevi bazen ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}}$ ile gösterilir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

1. ^ Bakınız (1974), Mathematical Analysis, Addison-Wesley, ss. 344-345, ISBN