Zincir kuralı

Zincir kuralı bir değişkene bağlı bir fonksiyonun değişkeninin başka bir değişkene bağlı olması durumunda türevinin:

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$ şeklinde yazılabilmesidir [${\displaystyle u=u(x)}$]. Diğer gösterimleri ise

${\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x),\,}$ ve

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))g'(x).}$ şeklindedir.

Örnekler

Örnek A

${\displaystyle f(x)=\sin(x^{3})}$ ifadesi ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ olarak yazılabilir. Burada ${\displaystyle h(x)=\sin(x)}$ ve ${\displaystyle g(x)=x^{3}}$ olarak tanımlıdır. Zincir kuralı uygulanırsa f fonksiyonunun türevi:

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {d}{dx}}h(g(x))=h'(g(x))g'(x)}$ olarak yazılabilir. Türevler yerine koyulursa

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=\cos(x^{3})\cdot 3x^{2}}$ sonucu bulunur.

Örnek B

${\displaystyle f(u)=\ln(u)}$ ve ${\displaystyle u=\sin(x)}$ olarak verilsin. f fonksiyonunun x' e göre değişimi zincir kuralı ile

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}={\frac {1}{u}}{\frac {du}{dx}}={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=\cot(x)}$ olarak bulunur.