Fuhrmann üçgeni

Adını (1833-1904)'dan alan Fuhrmann üçgeni, verilen rastgele bir üçgene dayanan özel bir üçgendir.

Fuhrmann üçgeni (kırmızı): ${\displaystyle \triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }}$
yayların orta noktaları: ${\displaystyle M_{a},M_{b},M_{c}}$

Fuhrmann üçgeni (kırmızı): ${\displaystyle \triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }}$
${\displaystyle \triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triangle M_{a}M_{b}M_{c}}$

Verilen bir ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeni ve üçgenin çevrel çemberi için üçgen kenarları üzerindeki yayların orta noktaları ${\displaystyle M_{a},M_{b},M_{c}}$ ile gösterilir. Bu orta noktalar, ilgili üçgen kenarlarında yansıyarak ${\displaystyle M_{a}^{\prime },M_{b}^{\prime },M_{c}^{\prime }}$ noktaları elde edilir ve bu da Fuhrmann üçgeni'ni oluşturur.

Fuhrmann üçgeninin çevrel çemberi, Fuhrmann çemberidir. Ayrıca Furhmann üçgeni yay orta noktalarının oluşturduğu üçgene benzer, yani ${\displaystyle \triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triangle M_{a}M_{b}M_{c}}$'dir. Fuhrmann üçgeninin alanı için aşağıdaki formül geçerlidir:

${\displaystyle |\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }|={\frac {(a+b+c)|OI|^{2}}{4R}}={\frac {(a+b+c)(R-2r)}{4}}}$

Burada ${\displaystyle O}$ verilen ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezini ve ${\displaystyle R}$ ise dış yarıçapı, ${\displaystyle I}$ iç teğet çemberinin merkezi ve ${\displaystyle r}$ ise iç yarıçapı gösterir. Euler teoremine göre ayrıca ${\displaystyle |OI|^{2}=R(R-2r)}$ eşitliği vardır. Fuhrmann üçgeninin kenarları için aşağıdaki denklemler geçerlidir:

${\displaystyle a^{\prime }={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a+b+c)}{bc}}}|OI|}$

${\displaystyle b^{\prime }={\sqrt {\frac {(a-b+c)(a+b+c)}{ac}}}|OI|}$

${\displaystyle c^{\prime }={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+b+c)}{ab}}}|OI|}$

Burada ${\displaystyle a,b,c}$ verilen ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin kenarlarını ve ${\displaystyle a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }}$ Fuhrmann üçgeninin kenarlarını gösterir (çizime bakınız).

Kaynakça

1. ^ ^{a b} Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, , pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
2. ^ Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, pp. 49-52
3. ^ ^{a b} Eric W. Weisstein, Fuhrmann triangle (MathWorld) (erişim tarihi: 12 Aralık 2019)