Dirichlet dizisi

Matematikte Dirichlet serisi

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

biçimindeki herhangi bir seriyi ifade etmektedir.

Burada s ve a_n (n = 1, 2, 3, …) karmaşık sayılardır. Bu ifade özel bir durumudur.

Dirichlet serileri önemli bir yere sahiptir. Riemann zeta işlevinin en ünlü tanımı olduğu gibi Dirichlet serilerine gerek duymaktadır. Seri, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet'ye adanmıştır.

Örnekler

En ünlü Dirichlet serisi

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

Riemann zeta işlevidir. Bir diğeri

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

biçiminde ifade edilen seridir. Burada μ(n) belirtmektedir. Bunlar ve aşağıda sıralanan serilerin büyük bir bölümü bilinen serilere ve uygulanarak elde edilebilmektedir. Örneğin, ${\displaystyle \scriptstyle \chi (n)}$ bir olmak koşuluyla

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

ifadesine ulaşılır. Burada ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ bir göstermektedir.

Diğer özdeşlikler ise şunlardır:

φ(n) totient olmak koşuluyla

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$

ve

${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}}$

Burada σ_a(n) göstermektedir. Bu işlevi içeren diğer özdeşlikler

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}}$

olarak yazılabilir.

Zeta işlevinin logaritması

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}}$

biçiminde tanımlanmaktadır. Bu ifade Re(s) > 1 için geçerlidir. ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}$ göstermektedir. Buradan

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

olarak hesaplanır.

(${\displaystyle \scriptstyle \lambda (n)}$) kullanılarak

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}}$

ifadesine ulaşılır.

da benzer bir örnek sunmaktadır.

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}}$

Dirichlet serisinin analitik özellikleri: Yakınsaklık yatay ekseni

Karmaşık sayılar kümesinde tanımlı {a_n}_{n ∈ N} işlevi için

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

ifadesi karmaşık değişken s'nin bir işlevi olarak tanımlanabilmektedir.

{a_n}_{n ∈ N} bir buna karşılık gelen f Dirichlet serisi s'nin yarı açık düzleminde yakınsar (Re(s) > 1 olmak koşuluyla). Genel olarak, a_n = O(n^k) eşitliği sağlanıyorsa seri Re(s) > k + 1 yarı düzleminde mutlak yakınsar.

a_n + a_{n + 1} + ... + a_{n + k} toplamlar kümesi n'de sınırlı ve k ≥ 0 ise yukarıdaki sonsuz seri Re(s) > 0 koşulunu sağlayacak biçimde yakınsar.

Her iki durumda da f, yarı açık düzlemde tanımlı bir analitik işlevdir.

Bir Dirichlet serisinin yakınsaklık yatay ekseni karmaşık düzlemdeki dik doğrunun gerçel ekseni kestiği nokta olarak tanımlanmaktadır. Böylece, bu noktanın sağında kalan bölge yakınsaklığı, solunda kalan bölge ıraksaklığı simgeler. Bu, yakınsaklık yarıçapına benzer bir kavramdır.

Türevleri

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

eşitliği sağlanıyorsa

${\displaystyle F'(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}$

ifadesi geçerlidir. Bir ƒ(n) tanımlanabiliyor ve seri Re(s) > σ₀ için yakınsıyorsa

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

ifadesi Re(s) > σ₀ için yakınsar. Burada ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}$ göstermektedir.

Çarpımları

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

ve

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}}$

olduğu varsayılsın.

F(s) ve G(s), s > a ve s > b için ise

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty }$

ifadesine ulaşılır.

a = b ve ƒ(n) = g(n) eşitlikleri sağlanıyorsa

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty }$

sonucu elde edilir.

İntegral dönüşümleri

Dirichlet serisinin hesaplanabilmektedir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

• G. H. Hardy & Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915)
• The general theory of Dirichlet's series28 Aralık 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. Cornell University Library Digital Collections