Reinhardt bölgesi

Matematiğin bir dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde, Reinhardt bölgesi, içindeki noktaların üzerinden geçen 0 merkezli bütün çemberleri içeren özel bölgelerdir. Bu bölge, adını Alman matematikçi Karl Reinhardt'tan almaktadır.

Tanımı

${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$ bir bölge olsun. Her ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \Omega }$ ve her ${\displaystyle \vartheta _{1},\vartheta _{2},\dots ,\vartheta _{n}\in \mathbb {R} }$ için ${\displaystyle \left(e^{i\vartheta _{1}}\cdot z_{1},\;e^{i\vartheta _{2}}\cdot z_{2},\;\dots ,e^{i\vartheta _{n}}\cdot z_{n}\right)\in \Omega }$ özelliği sağlanıyorsa, ${\displaystyle \Omega }$'ya Reinhardt bölgesi adı verilir.

${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$ bir Reinhardt bölgesi olsun. Her ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \Omega \cap {\mathbb {C} ^{*}}^{n}}$ için ${\displaystyle \left\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\,:\,\left|w_{j}\right|<\left|z_{j}\right|\right\}\subset \Omega }$ özelliği sağlanıyorsa, o zaman ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$'ya tam Reinhardt bölgesi adı verilir.

Örnekler

• ${\displaystyle n}$-boyutlu ve ${\displaystyle (\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})}$ vektör yarıçaplı Polidisk ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\,:\,\left|z_{j}\right|<\rho _{j}\;(j=1,2,\dots n)\right\}}$
• ${\displaystyle n}$-boyutlu, ${\displaystyle 0=(0,0,\dots ,0)\in \mathbb {C} ^{n}}$ merkezli ve ${\displaystyle \rho >0}$ yarıçaplı yuvar ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\,:\,\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+\dots +\left|z_{n}\right|^{2}<\rho ^{2}\right\}}$

Logaritmik dışbükeylik

${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$ bir Reinhardt bölgesi olsun ve ${\displaystyle \Omega ^{*}=\{z=(z_{1},\cdots ,z_{n})\in \Omega |z_{1}\cdots z_{n}\neq 0\}}$ tanımlansın.

${\displaystyle \lambda :z\rightarrow \lambda (z)=(\ln(|z_{1}|),\cdots ,\ln(|z_{n}|))}$ gönderimi altında

${\displaystyle \lambda (\Omega ^{*})}$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$nin dışbükey bir altkümesi oluyorsa, ${\displaystyle \Omega }$'ya logaritmik dışbükey denir.

Yakınsaklık bölgesi

Bir karmaşık değişkenli karmaşık analizde yakınsaklık bölgesi ya disk olur ya da karmaşık düzlem olur. Bu bakış açısıyla, yüksek boyutlarda yakınsaklık bölgesi sadece yuvar ya da çoklu disk (polidisk) veya karmaşık koordinat uzayının tamamı değildir. Yüksek boyutlarda, kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi tam Reinhardt bölgesi olmak zorundadır. Ancak, her tam Reinhardt bölgesi aynı zamanda bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olmak zorunda değildir. Bunun için bu bölgelere geometrik özellikler getirmek zorunluluğu vardır. Daha açık bir şekilde yazmak gerekirse, bir Reinhardt bölgesinin bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olması için gerekli ve yeterli özellik bu Reinhardt bölgesinin logaritmik dışbükey olmasıdır. Bu yüzden, Reinhardt bölgeleri, kuvvet veya Laurent serilerinin doğal tanım bölgeleridir denilebilir.

Thullen sınıflandırması

Peter Thullen'in 1931 yılındaki çalışması ile ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$deki sınırlı Reinhardt bölgeleri sınıflandırılmıştır. Daha açık bir ifade ile yazmak gerekirse, ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{2}}$ sınırlı bir Reinhardt bölgesi ve ${\displaystyle 0\in \Omega }$ olsun. O zaman, ${\displaystyle \Omega }$ aşağıdaki bölgelerden birine .

1. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}}$ (polidisk);
2. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{2}<1\}}$ ();
3. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{\frac {2}{p}}<1\}\,(p>0,\neq 1)}$ (~Kompleks elipsoit).
4. Otomorfi grubuna göre orijinin yörüngesinin yine orijin olduğu bölgeler. Diğer deyişle, ${\displaystyle Aut(D)}$ otomorfi grubuysa ve ${\displaystyle G(D)}$ de bu grubun birim elemanını içeren bağlantılı bileşense, o zaman ${\displaystyle G(D)\cdot 0=0}$ olan bölgeler.

Thullen, ayrıca, ${\displaystyle D_{1}}$ ve ${\displaystyle D_{2}}$ ile gösterilen sınırlı Reinhardt bölgelerinin birbirine holomorf olarak denk olmalarının ancak ve ancak

${\displaystyle {\begin{cases}z\mapsto r_{1}z\\w\mapsto r_{2}w\end{cases}}\quad {\text{ veya }}\quad {\begin{cases}z\mapsto r_{3}w\\w\mapsto r_{4}z\end{cases}}\quad (r_{i}>0,i=1,2,3,4)}$

şeklinde tanımlı ve ${\displaystyle D_{1}=\phi (D_{2})}$ özelliğini sağlayan bir ${\displaystyle \phi }$ gönderiminin varlığıyla mümkün olacağını kanıtlamıştır. Toshikazu Sunada, 1978'de, Thullen'in sonuçlarının bir genellemesini kanıtlamıştır. Yani, ${\displaystyle n}$-boyutlu uzayda sınırlı iki Reinhardt bölgesinin (${\displaystyle G_{1}}$ ve ${\displaystyle G_{2}}$ olsunlar) birbirine biholomorf denk olmalarının ancak ve ancak bu bölgelerin arasında ${\displaystyle z_{i}\mapsto r_{i}z_{\sigma (i)}(r_{i}>0)}$ şeklinde tanımlı ve ${\displaystyle G_{1}=\varphi (G_{2})}$ özelliğini sağlayan bir ${\displaystyle \varphi :\mathbf {C} ^{n}\longrightarrow \mathbf {C} ^{n}}$ gönderiminin varlığıyla mümkün olacağını kanıtlamıştır.

Kaynakça

1. ^ Yakınsaklık tanımından yola çıkılırsa, yakınsaklık kümeleri boş küme ya da nokta da olabilir ama burada bahsediliyor.
2. ^ Thullen, Peter (1931). "Zu den Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen die Invarianz des Mittelpunktes von Kreiskörpern". Mathematische Annalen. Cilt 104. ss. 244-259. doi:10.1007/bf01457933. 
3. ^ Burada, ${\displaystyle G(D)\cdot 0}$ işleminden kasıt orijinin ${\displaystyle G(D)}$-.
4. ^ Burada, ${\displaystyle \sigma }$, endeks permütasyonuna karşılık gelmektedir.
5. ^ Sunada, Toshikazu (1978). "Holomorphic equivalence problem for bounded Reinhardt domains". Mathematische Annalen. 235 (2): 111-128. doi:10.1007/BF01405009.