Karamata eşitsizliği

Matematikte Karamata eşitsizliği ya da baskılama eşitsizliği gerçel doğru üzerinde tanımlı ve gerçel değerli dışbükey ve içbükey fonksiyonlarla alakalı bir temel cebir teoremidir. Eşitsizlik, Jensen eşitsizliğinin kesikli biçimini genelleştiren bir sonuçtur ve bu genelleştirme kavramına gitmektedir. Eşitsizlik Sırp matematikçi Jovan Karamata'nın adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

Gerçel doğru üzerindeki bir ${\displaystyle I}$ aralığında tanımlanmış ve gerçel değerler alan bir dışbükey bir ${\displaystyle f}$ fonksiyonunu ele alalım. I aralığında x₁, …, x_n ve y₁, …, y_n sayıları verilmiş olsun ve (x₁, …, x_n) sayıları (y₁, …, y_n) sayılarını ; diğer deyişle,

• ${\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq \cdots \geq x_{n}}$    ve    ${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}\geq \cdots \geq y_{n},}$
• her ${\displaystyle i\in \{1,\cdots ,n-1\}}$ için

${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{i}\geq y_{1}+\cdots +y_{i}}$

• ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=y_{1}+\cdots +y_{n}}$

olsun. O zaman,

${\displaystyle f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})\geq f(y_{1})+\cdots +f(y_{n})}$

olur. Eğer ${\displaystyle f}$ fonksiyonu kesin dışbükey bir fonksiyonsa, o zaman bu eşitsizlikteki eşitlik hâli ancak ve ancak her i ∈ {1, …, n} için x_i = y_i olursa gerçekleşir.

Kaynakça

1. ^ Kadelburg, Zoran; Đukić, Dušan; Lukić, Milivoje; Matić, Ivan (2005), "Inequalities of Karamata, Schur and Muirhead, and some applications" (PDF), The Teaching of Mathematics, 8 (1), ss. 31-45, ISSN 1451-4966, 8 Ekim 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 9 Ocak 2025 
2. ^ Karamata, Jovan (1932), "Sur une inégalité relative aux fonctions convexes" (PDF), Publ. Math. Univ. Belgrade (Fransızca), cilt 1, ss. 145-148, Zbl 0005.20101, 8 Ekim 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 9 Ocak 2025