Hjelmslev teoremi

Geometride, Danimarkalı matematikçi 'in adını taşıyan Hjelmslev teoremi, bir doğru üzerindeki ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ...}$ noktaları, aynı çizgideki başka bir doğrunun ${\displaystyle P'}$, ${\displaystyle Q'}$, ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle ...}$ noktalarına izometrik olarak (ölçüleri eşit bir şekilde) eşlenirse düzlem, daha sonra ${\displaystyle PP'}$, ${\displaystyle QQ'}$, ${\displaystyle RR'}$ doğru parçalarının orta noktaları da bir doğru üzerindedir.

İki siyah çizgi üzerindeki kırmızı noktaların üçlüleri, her üçlü içinde aynı mesafelere sahiptir, bu nedenle Hjelmslev teoremine göre, karşılık gelen nokta çiftlerinin üç orta noktası tek bir (yeşil) doğru üzerindedir.

sınıflandırılması varsayılırsa kanıtı kolaydır. Verilen izometri tekilse, bu durumda zorunlu olarak ya bir doğrudaki bir yansıma ya da bir ötelemeli yansıma (bir doğrudaki üç yansımanın ve ona dik olan iki yansımanın çarpımı), her ne olursa olsun düzlem: ${\displaystyle PP'}$'nün orta noktası herhangi bir ${\displaystyle P}$ için (ötelemeli-) yansımanın ekseni üzerindeyse o zaman ifade tüm noktalar için doğrudur. İzometri çift ise, ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ...}$ üzerinde aynı etkiye sahip tek bir izometri elde etmek için ${\displaystyle PQR}$ doğrusunda yansıma ile oluşturun ve önceki açıklamayı uygulayın.

Teoremin önemi, (paralellik postülatını) önceden varsaymayan ve bu nedenle Öklid dışı geometride de geçerli olan farklı bir kanıta sahip olması gerçeğinde yatmaktadır. Onun yardımıyla, düzlemin her noktasını ${\displaystyle P'P''}$ doğru parçasının orta noktasına eşleyen haritalama, burada ${\displaystyle P'}$ ve ${\displaystyle P''}$, ${\displaystyle P}$'nin verilen bir merkez çevresindeki verilen bir dar açıyla rotasyon (her iki anlamda) altındaki görüntüleridir, tüm hiperbolik düzlemi bir diskin içine 1-1 yollu bir şekilde haritalayan, böylece doğrusal yapısının iyi bir sezgisel notasyonunu sağlayan bir doğrudaşlama olarak görülür. Aslında buna denir.

Hjelmslev teoremi

Bir düzlemde sırasıyla ${\displaystyle AB}$ ve ${\displaystyle A'B'}$ doğruları üzerindeki ${\displaystyle C}$ ve ${\displaystyle C'}$ noktalarını alalım, daha sonra ${\displaystyle {\frac {\overline {CA}}{\overline {CB}}}={\frac {\overline {C'A'}}{\overline {C'B'}}}}$ olduğundan ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$, ${\displaystyle CC'}$ doğruların orta noktaları ${\displaystyle A_{0}}$, ${\displaystyle B_{0}}$, ${\displaystyle C_{0}}$aynı doğru üzerinde sıralanacaktır.

Ayrıca bakınız

• Droz-Farny doğru teoremi

Kaynakça

• Martin, George E. (1998), The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, 3rd, Springer-Verlag, s. 384, ISBN  
• (1907). "Neue Begründung der ebenen Geometrie". Mathematische Annalen. Cilt 64. ss. 449-474. 
• (1961). "Der Hjelmslevsche Mittelliniensatz und verwandte Sätze". Monatshefte für Mathematik. Cilt 65. ss. 249-251. 

• (1989). Ebene Spiegelungsgeometrie. Eine Vorlesung über Hjelmslev-Gruppen. Mannheim: BI-Wissenschafts-yayıncı. ISBN . 
• (1963). Unvergängliche Geometrie. Wissenschaft und Kultur. 17. Basel / Stuttgart: Birkhäuser yayıncı. s. 54. MR 0692941. ^[]
• ; (1988). Geschichte der Geometrie seit Hilbert. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. ISBN . 
• (1970). A Course of Geometry for Colleges and Universities. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN . 

Dış bağlantılar

• Hjelmslev Teoremi 24 Ağustos 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Jay Warendorff, .
• Hjelmslev Teoremi 23 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., cut-the-knot.org