Harmonik seriler

Harmonik seri ıraksak bir seridir,harmonik sözcüğü ise müzikten devşirilmiştir.

Bir dizinin Harmonik serisi.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .\!}$

serisini incelersek her kesrin seri toplamında bir payı veya katkısı olduğunu görebiliriz.

Harmonik serinin Iraksaması

Sonsuza çok yavaş olarak ıraksayan bu serinin ilk 10^43 teriminin toplamı en az 100'dür ve Terim terim genişletilirse başka bir ıraksak seriye yakınsar.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}}$

Bu çok sayıda ¹⁄₂ terimini içeren harmonik serinin sonsuza ıraksadığı açıkça görülüyor. Serinin 2^k-inci kısmı toplamı ${\displaystyle s_{2^{k}}}$ ise

${\displaystyle s_{2^{k}}\geq 1+{k \over 2},}$

(serisine yakınsıyor) Yavaş ve neredeyse logaritmik bir artışa dönüşme var. Bu kanıtı Orta Çağ matematikçisi Nicole Oresme bulmuştur ve o dönemin en ileri seviyesidir. Yine de standart olarak günümüzde bu test kullanılmaktadır. (kondensasyon) bu testin genelleştirilmiş halidir. Harmonik seri için kullanılan diğer bir yöntem , 1'le sonsuz aralığında ¹⁄_x integralinden faydalanılır. sadece asal sayılar'ın terslerinin toplamı bile exponansiyel bir yavaşlık olmasına rağmen, sonsuza ıraksar ve denemesi daha zordur.

Alternatif yaklaşım

Harmanik serinin toplamına destek için toplamı S ile gösterelim:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =S}$

kesirlerin yeniden düzenlenmesiyle

${\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots \right)}$

Basitçe ikinci grubun sonucu

${\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)}$

ikinci grup yerini S 'e bırakır

${\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}S}$

Bundan faydalanarak

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)}$

veya sonuç;

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots }$

Bu doğru olamaz.Arka arkaya gelen bu toplamlar,ıraksamaya götürür.

Diğer bir deneme

ile başlayalım

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...}$

İki tarafında integrali alınırsa

${\displaystyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+...}$

iki tarafında ${\displaystyle x\rightarrow 1}$ giderken limitini alırız.

${\displaystyle -\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$.

${\displaystyle -\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=-(-\infty )=\infty }$,den dolayı toplarsak ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty }$

Diğer bir deyişle toplam ıraksaktır.

Alterne harmonik serinin yakınsaması

Alterne harmonik seride ilk dört kısmi toplam (siyah doğru parçaları) ln2 ye yaklaşıyor (kırmızı hat ).

Burada alterne harmonik seri'nin yakınsaması

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2=0.693\,147\,180\,\dots .}$

Bu eşitlik 'nin bir sonucudur., Taylor serisi'nin doğal logaritmadaki ikizidir, diğer eşitlik

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}.\!}$

Taylor serisi gösteriminin fonksiyon sonucu (yarıçap 1'e yakınsama vardır.).

Kısmi toplam

H_n= ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$

serisinde n. nci kısmi toplamı n. nci harmonik sayıyı verir, bu sayı ile doğal logaritma arasında fark Euler-Mascheroni sabiti'ne yakınsar.

Harmonik serinin genelleştirilmesi

Harmonik serinin genel formu

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}.\!}$

burada a ve b sonlu herhangi bir gerçel sayıdır.

P-serisi

p-serisi'nde p pozitif gerçel bir sayıdır

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},\!}$

integral testi ile p > 1 için aşırı-harmonik seri, p = 1 için harmonik seri p > 1 seri toplamı ζ(p)'yi yani, Riemann zeta fonksiyonu'nu verir.