Fuss teoremi

Öklid geometrisinde, bir çift merkezli dörtgen, hem bir hem de çevrel çembere sahip olan bir dörtgendir. Bu çemberlerin çevreleri, yarıçapları ve merkezlerine sırasıyla iç çap (inradius) ve çevrel çap (circumradius), iç merkez (incenter) ve çevrel merkez (circumcenter) denir. Tanımdan, çift merkezli dörtgenlerin hem hem de tüm özelliklerine sahip olduğu anlaşılmaktadır. Bu dörtgenler için diğer isimler kiriş-teğet dörtgeni ve iç teğet ve dış teğet dörtgenidir. Ayrıca nadiren çift çemberli dörtgen ve çift işaretlenmiş dörtgen olarak adlandırılmıştır.

Çift merkezli dörtgenler ${\displaystyle ABCD}$ ve ${\displaystyle EFGH}$ için Poncelet doğal sonucu

İç içe iki çember, çift merkezli bir dörtgenin iç teğet çemberi ve çevrel çemberiyse, çevrel çemberdeki her nokta, aynı iç teğet çembere ve çevrel çembere sahip çift merkezli bir dörtgenin tepe noktasıdır. Bu, Fransız matematikçi Jean-Victor Poncelet (1788–1867) tarafından kanıtlanan bir sonucudur.

Özel durumlar

Bir dik deltoid

Çift merkezli dörtgenlerin örnekleri, kareler, ve ikizkenar .

Tanımlama

Çift merkezli dörtgen ${\displaystyle ABCD}$ ve temas dörtgen ${\displaystyle WXYZ}$

Kenarları ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ olan bir dışbükey dörtgen ${\displaystyle ABCD}$, ancak ve ancak karşı kenarlar için ve zıt açıların bütünler olduğu özelliğini sağlıyorsa çift merkezlidir; yani,

${\displaystyle {\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases}}}$

Diğer üç nitelendirme, kenarlara teğet olduğu noktalarla ilgilidir. Çember, sırasıyla ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$'de ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CD}$, ${\displaystyle DA}$ kenarlarına teğet ise, teğetler dörtgeni ${\displaystyle ABCD}$ ancak ve ancak aşağıdaki üç koşuldan herhangi biri geçerliyse aynı zamanda :

• ${\displaystyle WY}$, ${\displaystyle XZ}$'ye diktir.
• ${\displaystyle {\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}}$
• ${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}}$

Bu üçünden ilki, temas dörtgeni WXYZ'nin bir olduğu anlamına gelir.

${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$ sırasıyla ${\displaystyle WX}$, ${\displaystyle XY}$, ${\displaystyle YZ}$, ${\displaystyle ZW}$'nin orta noktaları ise, teğetler dörtgeni ${\displaystyle ABCD}$, ancak ve ancak ${\displaystyle EFGH}$ dörtgeni bir dikdörtgense aynı zamanda kirişler dörtgenidir.

Başka bir nitelendirmeye göre, eğer ${\displaystyle I}$, karşıt kenarların uzantılarının ${\displaystyle J}$ ve ${\displaystyle K}$'de kesiştiği bir iç teğet çemberin merkezi ise, o zaman dörtgen de, ancak ve ancak ${\displaystyle \angle JIK}$ bir dik açı ise kirişler dörtgenidir.

Yine bir başka , teğetler dörtgen ${\displaystyle ABCD}$'nin, ancak ve ancak , temas dörtgeni ${\displaystyle WXYZ}$'nin Newton doğrusuna dik olması durumunda kirişler dörtgeni olmasıdır. (Bir dörtgenin Newton doğrusu, köşegenlerinin orta noktaları tarafından tanımlanan doğrudur.)

Çizim

Temas dörtgeni ${\displaystyle WXYZ}$ ile çift merkezli dörtgen ${\displaystyle ABCD}$. Animasyon için buraya bakın.

Çift merkezli bir dörtgen oluşturmak için basit bir yöntem vardır:

Merkez ${\displaystyle I}$ etrafında ${\displaystyle r}$ yarıçaplı ${\displaystyle C_{r}}$ ile başlar ve daha sonra ${\displaystyle C_{r}}$ iç teğet çemberi içinde birbirine dik iki ${\displaystyle WY}$ ve ${\displaystyle XZ}$ kirişleri çizilir. Kirişlerin uç noktalarında, iç teğet çembere ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ve ${\displaystyle d}$ teğetleri çizilir. Bunlar, çift merkezli bir dörtgenin köşeleri olan dört ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ ve ${\displaystyle D}$ noktasında kesişir. Çevrel çemberi çizmek için, çift merkezli dörtgen sırasıyla ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ kenarlarına iki ${\displaystyle p_{1}}$ ve ${\displaystyle p_{2}}$ çizilir. Dikey açıortaylar ${\displaystyle p_{1}}$ ve ${\displaystyle p_{2}}$, çevrel çember ${\displaystyle C_{R}}$'nin merkezi ${\displaystyle O}$'da iç teğet çember ${\displaystyle C_{r}}$'nin merkezi ${\displaystyle I}$ arasındaki ${\displaystyle x}$ mesafede kesişir. Çevrel çember, merkez ${\displaystyle O}$ etrafında çizilebilir.

Bu yapının geçerliliği, bir ${\displaystyle ABCD}$'de, temas dörtgeni ${\displaystyle WXYZ}$'nin, ancak ve ancak aynı zamanda olması durumunda dikey köşegenlere sahip olduğu nitelendirmesinden kaynaklanmaktadır.

Alan

Dört nicelik cinsinden formüller

Çift merkezli bir ${\displaystyle K}$ dörtgeninin alanı, dörtgenin dört niceliğiyle (kenar uzunlukları) birkaç farklı şekilde ifade edilebilir. Kenarlar ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ ise, alan:${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

Bu, Brahmagupta formülünün özel bir halidir. Ayrıca bir alanı için trigonometrik formülden doğrudan türetilebilir. Tersinin geçerli olmadığına dikkat edin: Çift merkezli olmayan bazı dörtgenler de ${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}}$ alanına sahiptir. Böyle bir dörtgene bir örnek, kare olmayan bir dikdörtgendir.

Alan ayrıca ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$ cinsinden de aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: ^:p.128

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

İç teğet çemberin merkezi ${\displaystyle I}$ olan çift merkezli dörtgen ${\displaystyle ABCD}$'nin alanı için bir formül aşağıdaki gibidir:${\displaystyle K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.}$

Çift merkezli bir dörtgenin ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$ ve köşegenleri ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ varsa, alanı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:^:p.129

${\displaystyle K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.}$

Eğer ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$ teğet kirişleri ve ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ dörtgenin (bimedyanlarıysa), alan aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir.

${\displaystyle K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl}$

Dörtgen bir ise bu formül kullanılamaz, çünkü bu durumda payda sıfırdır.

${\displaystyle M}$ ve ${\displaystyle N}$ köşegenlerin orta noktaları ve ${\displaystyle E}$ ve karşıt kenarların uzantılarının kesişme noktaları ise, çift merkezli bir dörtgenin alanı şu şekilde verilir:

${\displaystyle K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}}$

burada ${\displaystyle I}$ iç teğet çemberin merkezidir.

Üç nicelik cinsinden formüller

Çift merkezli bir dörtgenin alanı, iki karşıt kenar ve köşegenler arasındaki ${\displaystyle \theta }$ açısı cinsinden ifade edilebilir.${\displaystyle K=ac\tan {\frac {\theta }{2}}=bd\cot {\frac {\theta }{2}}.}$

İki komşu açı ve iç teğet çemberin yarıçapı ${\displaystyle r}$ cinsinden, alan aşağıdaki formül ile verilmiştir.

${\displaystyle K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).}$

Alan, çevrel çemberin yarıçapı ${\displaystyle R}$ ve iç teğet çemberin yarıçapı ${\displaystyle r}$ cinsinden aşağıdaki şekilde verilebilir.

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta }$

burada ${\displaystyle \theta }$, köşegenler arasındaki açıdır.

${\displaystyle M}$ ve ${\displaystyle N}$ köşegenlerin orta noktaları ve ${\displaystyle E}$ ve ${\displaystyle F}$ karşıt kenarların uzantılarının kesişme noktaları ise, alan da şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}}$

burada ${\displaystyle Q}$, iç teğet çemberin merkezinden geçen ${\displaystyle EF}$ doğrusuna dik olan ayağıdır.

Eşitsizlikler

Eğer ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle R}$ sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevresel çemberin yarıçapı ise, ${\displaystyle K}$ alanı aşağıdaki eşitsizlikleri sağlar:${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.}$

Sadece dörtgen bir kare ise her iki taraf için de eşitlik söz konusudur.

Alan için bir başka eşitsizlik ise^:p.39,#1203

${\displaystyle K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$'dir.

burada ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle R}$ sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır.

Alan için bir öncekinden daha keskin bir üst sınır veren benzer bir eşitsizlik ise:${\displaystyle K\leq r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})}$'dir.

eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir ise geçerlidir.

Ek olarak, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ ve ${\displaystyle s}$ kenarları ile:

${\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$^:p.39,#1203

${\displaystyle 6K\leq ab+ac+ad+bc+bd+cd\leq 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$^:p.39,#1203

${\displaystyle 4Kr^{2}\leq abcd\leq {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).}$^:p.39,#1203

Açı formülleri

${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ sırasıyla ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CD}$, ${\displaystyle DA}$ çift merkezli dörtgenin kenarlarına karşılık gelen uzunluklar ise, ${\displaystyle ABCD}$tepe açıları tanjant fonksiyonu ile hesaplanabilir:${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.}$

Aynı gösterimleri kullanarak, sinüs ve kosinüs fonksiyonları için aşağıdaki formüller geçerlidir:${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},}$

${\displaystyle \cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},}$

${\displaystyle \cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.}$

Köşegenler arasındaki ${\displaystyle \theta }$ açısı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

${\displaystyle \displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.}$

İç yarıçap (inradius) ve dış yarıçap (circumradius)

Çift merkezli bir dörtgenin iç teğet çemberinin yarıçapı ${\displaystyle r}$, aşağıdaki ifadeye göre ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ kenarlarıyla belirlenir.

${\displaystyle \displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.}$

Çevrel çemberin yarıçapı ${\displaystyle R}$, özel bir durumu olarak aşağıda verilmiştir.${\displaystyle \displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.}$

İç teğet çemberin yarıçapı, aşağıdaki formüle göre ardışık ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$ cinsinden de ifade edilebilir:^{:p. 41}

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.}$

Bu iki formül gerçekte, iç teğet çemberinin yarıçapı ${\displaystyle r}$ olan bir olması için .

Çift merkezli bir dörtgenin dört kenarı ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, dört çözümüdür.

${\displaystyle y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0}$

burada ${\displaystyle s}$ yarı çevre, ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle R}$ ise sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır.^{:p. 754}

${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$ ve iç teğet çemberinin yarıçapı ${\displaystyle r}$ olan çift merkezli bir dörtgen varsa, teğet uzunlukları ${\displaystyle e^{v}}$, ${\displaystyle f^{v}}$, ${\displaystyle g^{v}}$, ${\displaystyle h^{v}}$ ve iç teğet çemberinin yarıçapı ${\displaystyle r^{v}}$ olan çift merkezli bir dörtgen vardır, burada ${\displaystyle v}$ herhangi bir gerçel sayı olabilir.^:pp.9–10

Çift merkezli bir dörtgen, aynı kenar uzunluk dizisine sahip diğer herhangi bir teğetler dörtgenine göre daha büyük bir yarıçapa sahiptir.^{:pp.392–393}

Eşitsizlikler

Çevrel çemberin yarıçapı ${\displaystyle R}$ ve iç teğet çemberin yarıçapı ${\displaystyle r}$ aşağıdaki eşitsizliği sağlar:

${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r}$

Bu eşitsizlik, tarafından 1948'de kanıtlanmıştır. Sadece iki çember olduğunda (birbirleriyle aynı merkeze sahip olduklarında) eşitlik geçerli olur; o zaman dörtgen bir karedir. Eşitsizlik, yukarıdaki alan için çifte eşitsizlik kullanılarak birkaç farklı şekilde kanıtlanabilir.

Önceki eşitsizliğin bir uzantısı^{:p. 141}

${\displaystyle {\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leq {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leq 1}$

burada ancak ve ancak her iki tarafta da eşitlik olduğu zaman dörtgen bir karedir.^{:p. 81}

Bir çift merkezli dörtgenin ${\displaystyle s}$, aşağıdaki eşitsizliği sağlar:^:p.13

${\displaystyle {\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r}$

burada ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle R}$ sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır.

Ayrıca,^:p.39,#1203

${\displaystyle 2sr^{2}\leq abc+abd+acd+bcd\leq 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}}$

ve

${\displaystyle abc+abd+acd+bcd\leq 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).}$^:p.62,#1599

İç teğet çemberin merkezi (incenter) ve çevrel çemberin merkezi (circumcenter) arasındaki uzunluk

İç teğet çemberin merkezi ${\displaystyle I}$ ve çevrel çemberin merkezi ${\displaystyle O}$ ile bir ABCD çift merkezli dörtgeni

Fuss teoremi

Fuss teoremi, herhangi bir çift merkezli dörtgenin yarıçapı ${\displaystyle r}$ ve çevrel çemberinin yarıçapı ${\displaystyle R}$ ile merkezi ${\displaystyle I}$ ve çevrel çemberinin merkezi ${\displaystyle O}$ arasındaki ${\displaystyle x}$ uzunluğu arasında bir ilişki verir. Bu ilişki, aşağıdaki gibi ifade edilebilir:${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

veya eşdeğer olarak,

${\displaystyle \displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.}$

1792'de Leonhard Euler'in öğrencisi olan İsviçreli matematikçi (1755–1826) tarafından türetilmiştir. Denklemi ${\displaystyle x}$ için çözersek;

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

Üçgenler için Euler teoreminin analogu olan çift merkezli dörtgenler için Fuss teoremi, eğer bir dörtgen çift merkezli ise, iki ilişkili çemberin yukarıdaki denklemlere göre birbiriyle ilişkili olduğunu söyler. Aslında, tersi de geçerlidir: Fuss teoremindeki koşulu sağlayan merkezler arasında ${\displaystyle R}$ ve ${\displaystyle r}$ yarıçaplı ve iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık ${\displaystyle x}$ mesafeli iki çember (biri diğerinin içinde) verildiğinde, bunlardan birini çevreleyen ve diğerine içeriden teğet olan bir dışbükey dörtgen vardır. (ve sonra göre, sonsuz sayıda vardır).

Fuss teoreminin ifadesinde ${\displaystyle x}$’in ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle R}$ cinsinden ifade edilerek ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$ uygulanması, yukarıda belirtilen eşitsizliği ${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r}$ olarak elde etmenin başka bir yoludur. Bir genelleme aşağıdaki şekilde yapılabilir:^:p.5

${\displaystyle 2r^{2}+x^{2}\leq R^{2}\leq 2r^{2}+x^{2}+2rx.}$

Carlitz özdeşliği

İç teğet çember ve çevrel çemberin merkezleri arasındaki mesafe ${\displaystyle x}$ için bir başka formül, Amerikan matematikçi (1907-1999) tarafından verilmiştir. İfade aşağıdaki gibi yazılır:

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$

burada ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle R}$, sırasıyla ve çevrel çemberin yarıçapları ve

${\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}$'dir.

Burada ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, çift merkezli dörtgenin kenarlarıdır.

Teğet uzunlukları ve kenarlar için eşitsizlikler

${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$ için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:^:p.3

${\displaystyle 4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

ve

${\displaystyle 4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}$

burada ${\displaystyle r}$ iç teğet çemberin yarıçapı, ${\displaystyle R}$ çevrel çemberin yarıçapı ve ${\displaystyle x}$, iç teğet çemberin merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki mesafedir. ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ kenarları aşağıdaki eşitsizlikleri sağlar^:p.5

${\displaystyle 8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

ve

${\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).}$

İç teğet çemberin merkezinin diğer özellikleri

Çevrel çemberin merkezi, merkezi ve çift merkezli dörtgenin köşegenlerinin kesişimleri aynı doğru üzerindedir yani .

${\displaystyle I}$ iç teğet çemberin merkezinden bir ${\displaystyle ABCD}$ çift merkezli dörtgeninin dört köşesine olan dört mesafe ile ilgili aşağıdaki eşitlik söz konusudur:${\displaystyle {\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\frac {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

burada ${\displaystyle r}$ iç teğet çemberin yarıçapıdır.

Eğer ${\displaystyle P}$, iç teğet çemberinin merkezi ${\displaystyle I}$ olan bir çift merkezli dörtgen ${\displaystyle ABCD}$'nin köşegenlerinin kesişme noktası ise aşağıdaki eşitlik geçerlidir.${\displaystyle {\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.}$

Bir çift merkezli dörtgen ${\displaystyle ABCD}$ içinde, iç teğet çemberin yarıçapı ${\displaystyle r}$ ve çevrel çemberin yarıçapı ${\displaystyle R}$’ye ilişkin bir eşitsizlik aşağıdaki şekilde yazılabilir.${\displaystyle 4r^{2}\leq AI\cdot CI+BI\cdot DI\leq 2R^{2}}$

burada ${\displaystyle I}$, iç teğet çemberin merkezidir.

Köşegenlerin özellikleri

Çift merkezli bir dörtgende köşegenlerin uzunlukları, sırasıyla ve sağlanan formüller olan veya cinsinden ifade edilebilir.

Köşegenleri ${\displaystyle p}$ ve ${\displaystyle q}$ olan çift merkezli bir dörtgende, aşağıdaki özdeşlik geçerlidir:${\displaystyle \displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1}$

burada ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle R}$ sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır. Bu eşitlik, aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:${\displaystyle r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}}$

veya köşegenlerin çarpımı için ikinci dereceden bir denklem olarak çözerek, aşağıdaki biçim elde edilir:

${\displaystyle pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).}$

Çift merkezli bir dörtgende ${\displaystyle p}$ ve ${\displaystyle q}$ köşegenlerin çarpımı için bir eşitsizlik aşağıdaki gibidir:${\displaystyle \displaystyle 8pq\leq (a+b+c+d)^{2}}$

burada ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ kenarlardır. Bu eşitsizlik, 1967'de Amerikan matematikçi tarafından kanıtlanmıştır.

Bir çember üzerinde yer alan dört iç teğet çember merkezi

${\displaystyle ABCD}$ bir çift merkezli dörtgen ve ${\displaystyle O}$, çevrel çemberin merkezi olsun. O zaman ${\displaystyle OAB}$, ${\displaystyle OBC}$, ${\displaystyle OCD}$, ${\displaystyle ODA}$ gibi dört üçgenin iç teğet çemberlerinin merkezleri bir çember üzerinde yer alır.

Ayrıca bakınız

• Çift merkezli çokgen

Kaynakça

1. ^ ^{a b} 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover. 1965. ss. 188-193. ISBN . 
2. ^ ^{a b} Yun, Zhang, "Euler's Inequality Revisited", Mathematical Spectrum, Volume 40, Number 3 (May 2008), pp. 119-121. First page available at "Arşivlenmiş kopya" (PDF). 4 Mart 2016 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 4 Aralık 2020. .
3. ^ Geometric Inequalities: In Mathematical Olympiad and Competitions. Şanghay: East China Normal University Press. 2016. s. 22. ISBN . 
4. ^ Weisstein, Eric W. "Poncelet Transverse." From MathWorld – A Wolfram Web Resource,
5. ^ ^{a b c d} Characterizations of Bicentric Quadrilaterals (PDF), 10, 2010, ss. 165-173, 31 Aralık 2019 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 4 Aralık 2020 .
6. ^ Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images. Mathematical Association of America. 2011. ss. 125-126. ISBN . 
7. ^ ^{a b c} Weisstein, Eric, Bicentric Quadrilateral at MathWorld, Accessed on 2011-08-13.
8. ^ ^{a b c} Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral (PDF), 10, 2010, ss. 119-130, 13 Ağustos 2011 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 4 Aralık 2020 .
9. ^ ^{a b c d e f g h} The Area of a Bicentric Quadrilateral (PDF), 11, 2011, ss. 155-164, 5 Ocak 2020 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 4 Aralık 2020 .
10. ^ ^{a b} Durell, C. V. and Robson, A., Advanced Trigonometry, Dover, 2003, pp. 28, 30.
11. ^ ^{a b c} Yiu, Paul, Euclidean Geometry, 1998, ss. 158-164.
12. ^ Lord, Nick, "Quadrilaterals with area formula ${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$", Mathematical Gazette 96, July 2012, 345-347.
13. ^ ^{a b c} Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral (PDF), 12, 2012, ss. 237-241, 23 Nisan 2018 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 4 Aralık 2020 .
14. ^ ^{a b} When less is more: visualizing basic inequalities. Mathematical Association of America. 2009. ss. 64-66. ISBN . 
15. ^ ^{a b c d e f} Inequalities proposed in , 2007.
16. ^ ^{a b} A New Proof of Yun’s Inequality for Bicentric Quadrilaterals (PDF), 12, 2012, ss. 79-82, 31 Aralık 2019 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 4 Aralık 2020 .
17. ^ M. Radic, Z. Kaliman, and V. Kadum, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", Mathematical Communications, 12 (2007) 33–52.
18. ^ Pop, Ovidiu T., "Identities and inequalities in a quadrilateral", Octogon Mathematical Magazine, Vol. 17, No. 2, October 2009, pp 754-763.
19. ^ ^{a b c d e f} Radic, Mirko, "Certain inequalities concerning bicentric quadrilaterals, hexagons and octagons", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Volume 6, Issue 1, 2005,
20. ^ On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals (PDF), 14, 2014, ss. 389-396, 14 Aralık 2014 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 4 Aralık 2020 .
21. ^ Shattuck, Mark, “A Geometric Inequality for Cyclic Quadrilaterals”, Forum Geometricorum 18, 2018, 141-154. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201822.pdf 13 Eylül 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde . This paper also gives various inequalities in terms of the arc lengths subtended by a cyclic quadrilateral’s sides.
22. ^ Fuss's Theorem, 90 (July), 2006, ss. 306-307 .
23. ^ The In- and-Circumscribed Quadrilateral, 10, 1909, ss. 123-128, doi:10.2307/1967103 .
24. ^ Calin, Ovidiu, Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach, pp. 153–158.
25. ^ Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals, 2004.
26. ^ Juan Carlos Salazar, Fuss Theorem for Bicentric Quadrilateral, 2003, .
27. ^ 34 (2008) no 4, p. 242.
28. ^ . 20 Aralık 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Aralık 2020. 
29. ^ Alexey A. Zaslavsky, One property of bicentral quadrilaterals, 2019,