Episikloid

Geometride, bir episikloid (ayrıca hipersikloid olarak da adlandırılır), sabit bir çemberin etrafında kaymadan yuvarlanan bir çemberin çevresi üzerinde seçilen bir noktanın yolunu izleyerek üretilen bir düzlem eğrisidir -buna (epicycle) denir. Bu, yuvarlanma eğrisinin özel bir türüdür.

Kırmızı eğri, küçük çemberin (yarıçap r = 1) büyük çemberin (yarıçap R = 3) dışında yuvarlanmasıyla izlenen bir episikloiddir.

Küçük yarıçapı (R2) 0 olan bir episikloid bir çemberdir. Bu, eğrinin dejenere bir formudur.

Denklemler

Eğer küçük çemberin yarıçapı r ve büyük çemberin yarıçapı R = kr ise, o zaman eğri için parametrik denklemler her iki şekilde de verilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}}$

veya:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right)\end{aligned}}}$

Daha özlü ve karmaşık bir biçimde

${\displaystyle z(\theta )=r\left((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta }\right)}$

burada;

• θ açısı devirler halindedir: ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ].}$
• r: daha küçük çemberin yarıçapı
• kr: daha büyük çemberin yarıçapı

Alan

(Başlangıç noktasının büyük çember üzerinde olduğu varsayılırsa.) k pozitif bir tam sayı olduğunda, bu episikloidin alanı;

${\displaystyle A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}.}$

Bu, episikloidin orijinal sabit çemberden ${\displaystyle {\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}}$ kat daha büyük olduğu anlamına gelir.

Eğer k pozitif bir tam sayı ise, o zaman eğri kapalıdır ve k tane (yani keskin köşelere) sahiptir.

Eğer k bir rasyonel sayı ise, örneğin k = p / q olarak ifade edilirse, eğri p tepe noktasına sahiptir.

Eğriyi kapatmak ve 1. tekrarlayan deseni tamamlamak için:

θ = 0'dan q'ya kadar döngü

α = 0'dan p'ya kadar döngü

dış yuvarlanma çemberinin toplam döngüsü = p + q döngüdür.

p ve q'yu görmek için animasyon döngülerini sayın.

Eğer k bir irrasyonel sayı ise, eğri asla kapanmaz ve büyük çember ile R + 2r yarıçaplı bir çember arasındaki uzayın yoğun alt kümesini oluşturur.

OP (x = 0, y = 0) orijininden (küçük çember üzerindeki p noktasına) olan mesafe yukarı ve aşağı şu şekilde değişir;

${\displaystyle R\leq {\overline {OP}}\leq R+2r}$

burada

• R = büyük çemberin yarıçapı ve
• 2r = küçük çemberin çapıdır.

• Episikloid örnekleri
• k = 1; bir kardioid
• k = 2; bir
• k = 3; bir trefoiloid
• k = 4; bir quatrefoiloid
• k = 2,1 = 21/10
• k = 3,8 = 19/5
• k = 5,5 = 11/2
• k = 7,2 = 36/5

Episikloid, epitrokoidin özel bir türüdür.

Bir tepe noktası olan episikloid kardioid, iki tepe noktası olan ise .

Bir episikloid ve onun (evolütü) benzerdir.

İspat

İspat için taslak çizim

Çözmek istediğimiz şeyin ${\displaystyle p}$ konumu olduğunu, ${\displaystyle \alpha }$'nın teğet noktadan hareketli ${\displaystyle p}$ noktasına olan açı olduğunu ve ${\displaystyle \theta }$'nın başlangıç noktasından teğet noktaya olan açı olduğunu varsayıyoruz.

İki döngü arasında kayma olmadığına göre, o zaman şunu elde ederiz;

${\displaystyle \ell _{R}=\ell _{r}}$

Açının tanımına göre (yarıçap üzerindeki yay oranıdır), o zaman şunu elde ederiz;

${\displaystyle \ell _{R}=\theta R}$

ve

${\displaystyle \ell _{r}=\alpha r}$

Bu iki koşuldan şu özdeşliği elde ederiz;

${\displaystyle \theta R=\alpha r}$.

Buradan, ${\displaystyle \alpha }$ ve ${\displaystyle \theta }$ arasındaki ilişkiyi şu şekilde elde ederiz;

${\displaystyle \alpha ={\frac {R}{r}}\theta }$.

Şekilden, ${\displaystyle p}$ noktasının küçük çember üzerindeki konumunu açıkça görüyoruz.

${\displaystyle x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

${\displaystyle y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

Ayrıca bakınız

turtle kütüphanesi ile MSWLogo'da yapılmış bir animasyon (Kardioid)

• Periyodik fonksiyonlar listesi
• Sikloid
• Epitrokoid
• Hipotrokoid
• Yuvarlanma eğrisi
• Spirograf

Notlar

1. ^ "Solidworks tutorial creating a Cycloid Epicycloid Curve". 31 Mayıs 2023 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 20 Aralık 2023. 
2. ^ Chunlei Cao, Alastair Fletcher & Zhuan Ye (2015). "Epicycloids and Blaschke products". 18 Kasım 2023 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 20 Aralık 2023. 
3. ^ Eric W. Weisstein, Epicycloid Evolute (MathWorld)
4. ^ Pietrocola, Giorgio (2005). "Tartapelago". Maecla. 11 Şubat 2021 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 20 Aralık 2023. 

Kaynakça

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. ss. 161,168-170,175. ISBN . 

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Epicycloid (MathWorld)
• "Epicycloid" by Michael Ford, The , 2007
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Epicycloid", MacTutor Matematik Tarihi arşivi 
• Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
• Spirograph -- GeoFun
• Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth