Borwein integrali

Matematikte Borwein integrali, sinc(ax) ürünleri içeren bir integral'dir, burada verilen sinc fonksiyonu sinc(x) = sin(x)/x için x 0'a eşit değildir ve sinc(0) = 1. Bu integraller sonunda yıkılı görünür kalıpları sergileyerek kötü ün yapmıştır. Aşağıdaki gibi bir örnek verilmiştir:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx=\pi /2\end{aligned}}}$

Bu desene kadar devam eder

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx=\pi /2}$

Ancak bir sonraki aşamada desenin başarısız olduğu açıktır:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}\end{aligned}}}$

Genel olarak benzer integral değeri π / 2 olduğunda numaralar 3, 5, ... kendi terslerinin toplamından az olacagi sekilde pozitif gerçel sayılar ile değiştirilmiştir. 1.Yukarıdaki örnekler içinde, 1/3 + 1/5 + ... + 1/13 < 1, ama 1/3 + 1/5 + ... + 1/15 > 1'dir.

Kaynakça

1. ^ Borwein, David; (2001), "Some remarkable properties of sinc and related integrals", The Ramanujan Journal, 5 (1), ss. 73-89, doi:10.1023/A:1011497229317, ISSN 1382-4090, MR 1829810 
2. ^ Baillie, Robert (2011). "Fun With Very Large Numbers". arXiv:1105.3943 $2.