Young evrişim eşitsizliği

Matematikte Young evrişim eşitsizliği iki fonksiyonun evrişimiyle alakalı bir eşitsizliktir. Eşitsizlik, 'ın adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

Öklid uzaylarında

${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty }$ olmak üzere $${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$ özelliği sağlansın. ${\displaystyle f}$ fonksiyonu ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$ Lebesgue uzayında ve ${\displaystyle g}$ fonksiyonu ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{d})}$ Lebesgue uzayında ise $${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$$ eşitsizliği vardır. Burada, yıldız işareti ile evrişim kastedilmiştir.

Eşdeğer olarak, ${\displaystyle p,q,r\geq 1}$ ve ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ ise, o zaman $${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right|\leq \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.}$$

Genelleştirmeleri

Young eşitsizliğinin ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$nin yerine bir ${\displaystyle G}$ konulduğu doğal bir genelleştirmesi vardır. Eğer ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle G}$ üzerinde çifte değişmez bir ise ve ${\displaystyle f,g:G\to \mathbb {R} }$ veya ${\displaystyle \mathbb {C} }$ integrallenebilir fonksiyonlar ise ${\displaystyle f*g}$ fonksiyonu, yani evrişim, $${\displaystyle f*g(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,\mathrm {d} \mu (y)}$$ tanımlanabilir. O zaman, bu durumda, Young eşitsizliğinin ifadesi şöyle olur: ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ ve $${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$ olmak üzere, ${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$ ve ${\displaystyle g\in L^{q}(G,\mu )}$ için $${\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}}$$ eşitsizliği vardır.

Eşdeğer olarak, ${\displaystyle p,q,r\geq 1}$ ve ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ ise, o zaman $${\displaystyle \left|\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right|\leq \left(\int _{G}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{G}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, (ki istenen Haar ölçüsüdür) altında, aslında yerel tıkız Abelyen grup (ve bu yüzden unimodüler grup) olduğu için, bu yukarıda bahsedilenler gerçekten genelleştirme sayılır.

Bu genelleştirme daha da iyileştirilebilir: ${\displaystyle G}$ ve ${\displaystyle \mu }$ daha önceki gibi olsun ve ${\displaystyle 1<p,q,r<\infty }$ sayılarının ${\textstyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}+1}$ eşitliğini sağladığı varsayılsın. O zaman, her ${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$ ve ${\displaystyle G}$ üzerinde tanımlı ölçülebilir ve ${\displaystyle L^{q,w}(G,\mu )}$'nün elemanı olan her ${\displaystyle g}$ fonksiyonu için ${\displaystyle f*g\in L^{r}(G,\mu )}$ olur ve $${\displaystyle \|f*g\|_{r}~\leq ~C\,\|f\|_{p}\,\|g\|_{q,w}}$$ eşitsizliği vardır.

Ayrıca bakınız

• Minkowski eşitsizliği

Notlar

1. ^ ${\displaystyle g}$ fonksiyonunun ${\displaystyle L^{q,w}(G,\mu )}$'nün elemanı olma koşulu şu supremum normunun sonlu olması demektir: $${\displaystyle \|g\|_{q,w}^{q}~:=~\sup _{t>0}\,t^{q}\mu (|g|>t)}$$

Kaynakça

1. ^ Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory, I, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 2267655, Zbl 1120.28001 , Theorem 3.9.4
2. ^ ; ; (2011). Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 343. Berlin, Heidelberg: Springer. ss. 5-6. ISBN . OCLC 704397128. 

Dışa bağlantılar

• Young's Inequality for Convolutions (ProofWiki)