Sıralamalar

Sıra teorisi, kullanma sırasının sezgisel kavramını inceleyen bir matematik dalıdır. "Bu, şundan daha küçüktür" veya "bu, şundan daha öncedir" gibi durumları inceler.

Örneksel yaklaşım

Bir küme ve o küme üzerinde aşağıda tarif edilecek olan ikili bir bağıntıyı içeren aksiyomatik sistemlere denir. Bilinen sıralama ${\displaystyle \leq }$ bağıntısının soyutlanmasıyla elde edilirler. Kümemize X, bağıntımıza R adını verecek olursak, aşağıdaki aksiyomların sağlandığını varsayarız.

• X kümesinin her a elemanı için R(a,a) bağıntısı sağlanmalıdır. (${\displaystyle a\leq a}$ şeklinde düşünülebilir, yansıma özelliği olarak bilinir.)
• X kümesinin herhangi iki a ve b elemanı için R(a, b) ve R(b,a) bağıntıları sağlanıyorsa, ${\displaystyle a=b}$ olmalıdır. (hem ${\displaystyle a\leq b}$ hem de ${\displaystyle b\leq a}$sağlanıyorsa a=b dir diye düşünülebilir, antisimetrik olma özelliği olarak bilinir.)
• X kümesinin herhangi üç a, b ve c elemanı için hem R(a, b) hem de R(b,c) bağıntıları sağlanıyorsa, o zaman R(a,c) bağıntısı da sağlanmalıdır. (hem ${\displaystyle a\leq b}$ hem de ${\displaystyle b\leq c}$ ise ${\displaystyle a\leq c}$ de olmalıdır diye de düşünülebilir, geçişkenlik özelliği olarak bilinir)

Sıralamalara örnekler

(Doğal sayılar, ${\displaystyle \leq }$ bağıntısı) -- (Rasyonel sayılar, ${\displaystyle \leq }$ bağıntısı) -- (Reel sayılar,${\displaystyle \leq }$ bağıntısı) -- (Kümeler Uzayı*, ${\displaystyle \subset }$ bağıntısı)

---

${\displaystyle *}$Teknik olarak bir küme değildir. Ancak bu sorun yaratmaz.

Sıralama çeşitleri

• Eğer elimizdeki sıralama nesnesi, yukardaki aksiyomlara ek başka varsayımlar sağlamıyorsa elimizdeki sıralamaya "kısmi sıralama" denir. Yani her sıralama bir kısmi sıralamadır.
• Eğer yukardaki aksiyomlara ek olarak X ten seçeceğimiz herhangi iki elemanı karşılaştırabiliyorsak (yani R(a, b) ve R(b,a) bağıntılarından biri mutlaka doğru olmak zorundaysa) o zaman elimizdeki sıralamaya doğrusal sıralama denir. Yukardaki örneklerden (Doğal Sayılar, ${\displaystyle \leq }$), (Rasyonel Sayılar, ${\displaystyle \leq }$) ve (Reel Sayılar, ${\displaystyle \leq }$) aynı zamanda doğrusal sıralamalara da örneklerken, (Kümeler Uzayı, ${\displaystyle \subset }$ bağıntısı), doğrusal olmayan kısmi bir sıralamadır. Nedeni herhangi iki kümeyi ${\displaystyle \subset }$ bağıntısına göre karşılaştırmanın mümkün olmamasıdır. Yani biri diğerini içermeyen iki kümenin varlığıdır.
• Son olarak, doğrusal sıralama şartlarını sağlayan (X, R) sıralamalarından, "X in her alt kümesinin bir en küçük eleman içermesi şartı"nı sağlayanlara iyi-sıralama denir. Yukarıdaki örneklerden reel sayılar ve doğal sayılar iyi-sıralama iken, rasyonel sayılar iyi sıralama değildir. Örnek olarak "karekök ikiden büyük rasyonel sayılar" kümesinin en küçük bir elemanı olmaması verilebilir.

Sıralamaların önemi

• Her sıralama nesnesi bir topolojik uzay yapısına sahiptir. Bu yapının açık kümelerinin temeli "öyle x elemanları ki ${\displaystyle a\leq x\leq b}$" şeklinde ifade edilebilen kümelerden oluşur, a veya b az önceki formülde gözükmüyor da olabilirler.
• , sayesinde kısmi sıralamalar matematiğin pek çok alanında uygulama bulmuşlardır. Mesela halka'larda maksimal varlığı Zorn'un Lemması ve ideallarin ${\displaystyle \subset }$ bağıntısına göre kısmi bir sıralama oluşturduğu gerçeği kullanılarak ispatlanır.
• Reel sayılar kümesinin rasyonel sayılar kümesini kullanılarak oluşturulmasının bir temeli de Alman matematikçi Richard Dedekind tarafından verilmiştir. Dedekind'in yöntemi rasyonel sayılar kümesinin bir iyi-sıralama haline getirilmesine dayanır. Diğer yöntem ise "bütünleme"dir.
• İyi sıralamar matematikte nispeten nadir gözlenen, çok güçlü özellikler içeren objelerdir. Bu ilke ve kümeler teorisi arasındaki ilişki hakkında bilgi için ayrica İyi-sıralılık ilkesi Makalesi'ne bakabilirsiniz.