Reuschle teoremi

Temel geometride, Reuschle teoremi, ortak bir noktada kesişen bir üçgenin bir özelliğini tanımlar ve adını Alman matematikçi (1812-1875)'den alır. Ayrıca Fransız matematikçi (1782-1862)'in adıyla 1842'de yayınlayan Terquem teoremi olarak da bilinir. Teorem, ve Feuerbach'ın dokuz nokta çemberi ile bağlantılı olarak benzer biçimde bulunan belirli köşe çaprazlarının kesişim özellikleriyle ilgili bir problemi ele almaktadır. Reuschle teoreminin ispatı, sekant teoreminin yanı sıra Ceva teoremi ve onun karşıt teoremine dayanmaktadır.

Reuschle teoremi:
${\displaystyle AP_{a}}$, ${\displaystyle AP_{b}}$ ve ${\displaystyle AP_{c}}$ ${\displaystyle D}$'de kesişir
${\displaystyle AP'_{a}}$, ${\displaystyle AP'_{b}}$ ve ${\displaystyle AP'_{c}}$ ${\displaystyle D'}$'de kesişir.

Bir ${\displaystyle ABC}$ üçgeninde, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ veya ${\displaystyle C}$ köşeleri dışında ortak bir noktada kesişen üç cevianı olan ${\displaystyle P_{a}}$, ${\displaystyle P_{b}}$ ve ${\displaystyle P_{c}}$ (genişletilmiş) üçgen kenarları ile cevianların kesişimlerini göstersin. Üç ${\displaystyle P_{a}}$, ${\displaystyle P_{b}}$ ve ${\displaystyle P_{c}}$ noktası tarafından tanımlanan çember (genişletilmiş) üçgen kenarlarını (ilave olarak) ${\displaystyle P'_{a}}$, ${\displaystyle P'_{b}}$ ve ${\displaystyle P'_{c}}$ noktalarında keser. Reuschle teoremi şimdi üç yeni cevian ${\displaystyle AP'_{a}}$, ${\displaystyle BP'_{b}}$ ve ${\displaystyle CP'_{c}}$'nin de ortak bir noktada kesiştiğini belirtir.

Demo

P ve Q'nun ABC üçgenine göre siklocevian eşlenikleri ve bunların ortak cevian çemberi.

Ceva teoremine göre, eğer (AF), (BG) ve (CE) doğruları kesişiyorsa, o zaman:

${\displaystyle {\frac {\overline {EA}}{\overline {EB}}}\times {\frac {\overline {FB}}{\overline {FC}}}\times {\frac {\overline {GC}}{\overline {GA}}}=-1}$.

A noktasının EFG tarafından çevrelenen çembere göre (kuvveti):

${\displaystyle p={\overline {JA}}\times {\overline {GA}}={\overline {IA}}\times {\overline {EA}}}$

Dolayısıyla oranlar eşittir:

${\displaystyle {\frac {\overline {EA}}{\overline {GA}}}={\frac {\overline {JA}}{\overline {IA}}}}$.

Benzer şekilde, B'nin kuvveti şu ifadeyi yazmamızı sağlar:

${\displaystyle {\frac {\overline {EB}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {HB}}{\overline {IB}}}}$.

Son olarak, C'nin kuvveti şu ifadeyi yazmamızı sağlar:

${\displaystyle {\frac {\overline {GC}}{\overline {FC}}}={\frac {\overline {HC}}{\overline {JC}}}}$.

Soldaki üç oranın çarpımı -1'dir, dolayısıyla sağdaki oranların çarpımı da -1'dir ve :

${\displaystyle -1={\frac {\overline {EA}}{\overline {EB}}}\times {\frac {\overline {FB}}{\overline {FC}}}\times {\frac {\overline {GC}}{\overline {GA}}}={\frac {\overline {JA}}{\overline {IA}}}\times {\frac {\overline {IB}}{\overline {HB}}}\times {\frac {\overline {HC}}{\overline {JC}}}={\frac {\overline {HC}}{\overline {HB}}}\times {\frac {\overline {IB}}{\overline {IA}}}\times {\frac {\overline {JA}}{\overline {JC}}}}$.

Ceva teoreminin tersine göre, üç doğru (AH), (BJ) ve (CI) tek noktada kesişir.

Özel durumlar

G_e'nin cevian çemberi, ABC üçgeninin Gergonne noktası, ABC üzerine çizilmiş çemberdir.

• Üçgenin Gergonne noktası, kendi çevrimsel-cevian eşleniğidir; değme çemberi ise üçgenin .
• Sentroidin (Üçgenin ağırlık merkezinin) çevrimsel-cevian eşleniği (kenarortayların kesişme noktası) ortosantrdır (yüksekliklerin kesişme noktası) ve bunun tersi de geçerlidir. O halde cevian çemberi, üçgenin Euler çemberidir.

Notlar

1. ^ ing: cyclocevian

Kaynakça

• (ed.): Mathematische Unterhaltungen. Volume I, Stuttgart 1867, (reprint Wiesbaden 1973), , p. 125 (German)
• M. D. Fox, J. R. Goggins: "Cevian Axes and Related Curves." The Mathematical Gazette, volume 91, no. 520, 2007, pp. 3–4 (JSTOR).

Dış bağlantılar

Wikimedia Commons'ta Reuschle's theorem ile ilgili ortam dosyaları mevcuttur.

• Terquem's theorem at cut-the-knot.org
• Eric W. Weisstein, Cyclocevian Conjugate (MathWorld)