Laplace operatörü

Laplasyen ${\displaystyle (\nabla ^{2}\phi )}$, skaler bir ${\displaystyle \phi \,}$ alanının gradyanı alınarak elde edilen vektörün diverjansıdır. Fizikteki birçok diferansiyel denklem laplasyen içerir.

Kartezyen koordinat sisteminde

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\operatorname {div} \,(\operatorname {grad} \,\phi )={\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\phi )}$	${\displaystyle ={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

Küresel koordinat sisteminde

${\displaystyle \nabla ^{2}t={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial t}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial t}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}t}{\partial \phi ^{2}}}}$

Silindirik koordinat sisteminde

${\displaystyle \nabla ^{2}t={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial t}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}t}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}t}{\partial z^{2}}}}$

Tansör gösterimi

${\displaystyle \nabla ^{2}T=T_{,kk}}$