Matematiğin bir alt dalı olan Itô izometrisi alakalı çok temel ve önemli bir özelliktir önemli uygulamalarından birisi h

Matematiğin bir alt dalı olan Itô izometrisi alakalı çok temel ve önemli bir özelliktir. Önemli uygulamalarından birisi, hâlindeki bir rassal değişkenin varyansının hesaplanmasını kolay hale getirmesidir. Bu özellik, Japon matematikçi Kiyoshi Itô'nun adını taşımaktadır.

İfadesi

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ bir olasılık uzayı olsun. $W:[0,T]\times \Omega \mapsto \mathbb {R}$ bir $T>0$ zamanı için tanımlanmış olsun. $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ ise üzerinden tanımlanmış doğal filtreleme ${\mathcal {F}}_{*}^{W}$ 'ye uyarlanmış bir stokastik süreç olsun. $\operatorname {E}$ , altında beklenen değeri temsil ederse, o zaman,

\operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}^{2}\mathrm {d} t\right]

olur.

Başka bir deyişle, , kare-integrallenebilir uyarlanmış süreçlerin uzayı olan $L_{\mathrm {uyar} }^{2}([0,T]\times \Omega )$ uzayından kare-integrallenebilir rassal değişkenlerin uzayı $L^{2}(\Omega )$ ya bir operatör olarak düşünüldüğünde, bu iki normlu vektör uzayının olmaktadır. Yâni,

{\begin{aligned}(X,Y)_{L_{\mathrm {uyar} }^{2}([0,T]\times \Omega )}&:=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{T}X_{t}\,Y_{t}\,\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}

ve

(A,B)_{L^{2}(\Omega )}:=\operatorname {E} (AB)

tarafından üretilen normlar altında Itô integrali olur. Sonuç olarak, Itô integrali bu iç çarpımları da dikkate alır ve $X,Y\in L_{\mathrm {uyar} }^{2}([0,T]\times \Omega )$ için

\operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\left(\int _{0}^{T}Y_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\right]=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}Y_{t}\,\mathrm {d} t\right]

yazılabilir.

Kaynakça

^ (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin. ISBN .

[1] (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin. ISBN .