Akışkanlar mekaniğinde Helmholtz teoremleri girdap vorteks filamanlarının çevresindeki üç boyutlu akışkan hareketlerini

Akışkanlar mekaniğinde, Helmholtz teoremleri, girdap (vorteks) filamanlarının çevresindeki üç boyutlu akışkan hareketlerini tanımlar. İsmini Hermann von Helmholtz'den alan bu teoremler, ve viskozite etkisinin az olup göz ardı edilebileceği akışlarda geçerlidir.

Helmholtz'un üç teoremi şöyledir:

Helmholtz’un birinci teoremi:

Bir girdap filamanının şiddeti girdap ekseni boyunca sabittir.

Helmholtz’un ikinci teoremi:

Bir girdap filamanı akışkan içinde son bulamaz: Akışkanın sınırlarına kadar uzanmalı veya kapalı bir eğri oluşturmalıdır.

Helmholtz’un üçüncü teoremi:

Rotasyonel harici kuvvetler yoksa, başlangıçta irrotasyonel olan bir akışkan irrotasyonel kalır.

Helmholtz teoremleri viskoz olmayan akışlar için geçerlidir. Gerçek akışkanlardaki girdapların gözlemlerinde girdapların şiddeti, viskoz kuvvetlerin dağıtıcı etkisi nedeniyle yavaş yavaş azalır.

Üç teorem alternatif olarak aşağıdaki gibi de ifade edilebilir:

Bir girdap tüpünün şiddeti zamanla değişmez.
Belli bir zamanda bir girdap çizgisinde üzerinde bulunan akışkan elemanları, aynı girdap çizgisinde kalmaya devam eder. Daha basitçe anlatmak gerekirse, girdap çizgileri akışkanla birlikte hareket eder. Ayrıca girdap çizgileri ve tüpleri, kapalı bir döngü teşkil etmelidir: ya sonsuza gitmeli ya da katı sınırlarda başlamalı/son bulmalıdır.
Başlangıçta vortisitesiz olan akışkan elemanları vortisitesiz kalırlar.

Helmholtz teoremleri günümüzde genellikle referans alınarak kanıtlansa da aslında Helmholtz teoremleri 1858'de, yani Kelvin'in teoremi yayınlanmadan dokuz yıl önce, yayınlanmıştır.

Notlar

^ Kuethe and Schetzer, Foundations of Aerodynamics, Section 2.14
^ Bir girdap tüpünün şiddeti, aşağıdaki gibi gösterilir:
$\Gamma =\int _{A}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}dA=\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}$
Denklemde $\Gamma$ temsil eder, ${\vec {\omega }}$ vektörüdür, ${\vec {n}}$ A yüzeyine dik normal vektörüdür, ${\vec {u}}$ A yüzeyinin sınırlayan kapalı eğri C üzerindeki hız vektörüdür. Sirkülasyonun işareti A yüzeyine dik normal vektörünün yönüne bağlı olarak sağ el kuralı ile belirlenir. Üçüncü teorem, bu değerin tüpün tüm A kesitleri için aynı olduğunu ve zamandan bağımsız olduğunu belirtmektedir, yani matematiksel olarak:
${\frac {D\Gamma }{Dt}}=0$
^ Helmholtz, H. "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (İngilizce). Cilt 55. ISSN 0075-4102. 2 Şubat 2017 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 18 Şubat 2017.

Kaynakça

M. J. Lighthill, An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics, Oxford University Press, 1986,
, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, 1995,
, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press (1967, reprinted in 2000).
Kundu, P and Cohen, I, Fluid Mechanics, 2nd edition, Academic Press 2002.
George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–93
A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, 2nd edition. John Wiley & Sons, Inc. New York

[1] Kuethe and Schetzer, Foundations of Aerodynamics, Section 2.14

[2] Bir girdap tüpünün şiddeti, aşağıdaki gibi gösterilir:
$\Gamma =\int _{A}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}dA=\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}$
Denklemde $\Gamma$ temsil eder, ${\vec {\omega }}$ vektörüdür, ${\vec {n}}$ A yüzeyine dik normal vektörüdür, ${\vec {u}}$ A yüzeyinin sınırlayan kapalı eğri C üzerindeki hız vektörüdür. Sirkülasyonun işareti A yüzeyine dik normal vektörünün yönüne bağlı olarak sağ el kuralı ile belirlenir. Üçüncü teorem, bu değerin tüpün tüm A kesitleri için aynı olduğunu ve zamandan bağımsız olduğunu belirtmektedir, yani matematiksel olarak:
${\frac {D\Gamma }{Dt}}=0$

[3] Helmholtz, H. "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (İngilizce). Cilt 55. ISSN 0075-4102. 2 Şubat 2017 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 18 Şubat 2017.