Hadwiger–Finsler eşitsizliği

Matematikte Hadwiger–Finsler eşitsizliği, Öklid düzlemindeki üçgen geometrisinin bir sonucudur. Düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ve ${\displaystyle c}$ ve alanı ${\displaystyle T}$ ile gösterilirse, o zaman

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(HF)}}.}$

İlgili eşitsizlikler

• , Hadwiger–Finsler eşitsizliğinin doğrudan bir : düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ve ${\displaystyle c}$ ve alanı ${\displaystyle T}$ ile gösterilirse, o zaman

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(W)}}.}$

Weitzenböck eşitsizliği, Heron formülü kullanılarak da kanıtlanabilir; bu yolla, (W) için eşitliğin ancak ve ancak eğer üçgen bir eşkenar üçgen ise, yani ${\displaystyle a=b=c}$ için geçerli olduğu görülür.

• Dörtgen için bir versiyon: ${\displaystyle ABCD}$, uzunlukları ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ ve alanı ${\displaystyle T}$ ile gösterilen dışbükey bir dörtgen olsun, sonra:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4T+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}}$ sadece bir kare için eşitlikle sonuçlanır.

Burada; ${\displaystyle \sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}}$

İspat

Kosinüs yasasından aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }$

${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle b}$ ve ${\displaystyle c}$ arasındaki açı olsun. Bu aşağıdaki ifadeye dönüştürülebilir:

${\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos \alpha ).}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha }$ olduğundan;

${\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A{\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}}$'dir.

${\displaystyle 1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}$

ve

${\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}$

olduğunu hatırlarsak, bunları kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde edebiliriz;

${\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A\tan {\frac {\alpha }{2}}.}$

Bunu üçgenin her kenarı için yaparak ve taraf tarafa toplayarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A\left(\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\right).}$

${\displaystyle \beta }$ ve ${\displaystyle \gamma }$ üçgenin diğer açılarıdır. Şimdi, üçgenin açılarının yarısı ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$'den küçük olduğundan, ${\displaystyle \tan }$ fonksiyonu dışbükeydir:

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\geq 3\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma }{6}}=3\tan {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}.}$

Bunu kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A{\sqrt {3}}.}$

Bu da Hadwiger–Finsler eşitsizliğidir.

Tarihçe

Hadwiger–Finsler eşitsizliğine, Alman ve İsviçreli matematikçi ile İsviçreli matematikçi yaptıkları çalışma ( &  1937) sonrası adını vermiştir, aynı makalede, bir tepe noktasını paylaşan diğer iki kareden türetilen bir kare üzerinde Finsler–Hadwiger teoremini de yayınladılar.

Eşitsizliğin genelleştirilmesi

1. Eğer ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ve ${\displaystyle d}$ bir dörtgenin dört kenarıysa ve ${\displaystyle S}$ alanı ise, o zaman

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4S}$'dir.

Eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir kare ise doğrudur.

2. Eğer ${\displaystyle L_{1}}$, ${\displaystyle L_{2}}$, ……, ${\displaystyle L_{n}}$ n kenarlı şeklin kenar uzunlukları ve ${\displaystyle S}$ alanı ise, o zaman

${\displaystyle L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+}$……${\displaystyle L_{n}^{2}\geq 4S\tan {\tfrac {\pi }{n}}(n\geq 3)}$'dir.

Eşitlik, ancak ve ancak n-kenarlı şekil eş kenarlı bir n-kenarlı şekil ise doğrudur.

Ayrıca bakınız

Notlar

1. ^ Leonard Mihai Giugiuc, Dao Thanh Oai and Kadir Altintas, An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral, International Journal of Geometry, Vol. 7 (2018), No. 1, ss. 81-86

Kaynakça

• ; (1937). "Einige Relationen im Dreieck". . 10 (1): 316-326. doi:10.1007/BF01214300. 
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, , pp. 84-86 21 Temmuz 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde .

Dış bağlantılar

• PlanetMath'te Proof of Hadwiger-Finsler inequality
• PlanetMath'te Weizenbock's inequality

Konuyla ilgili yayınlar

• Cezar Lupu (27 Ocak 2010), Algebraic-Geometric Proofs of the Weitzenbock and Finsler-Hadwiger Inequalities Revisited (PDF) 
• D. Ş. Marinescu; M. Monea; M. Opincariu; M. Stroe (2012), "Note on Hadwinger–Finsler's Inequalites" (PDF), Journal of Mathematical Inequalities, 6 (1), ss. 57-64, 9 Ağustos 2017 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 6 Aralık 2020 
• Kouba, Omran (2017), "On certain new refinements of Finsler-Hadwiger inequalities", Journal of Inequalities and Applications, doi:10.1186/s13660-017-1356-5