Eğrilik

Geometri'de iki çeşit eğrilik tanımlanır. Eğrilik ve . Tarihte ilk olarak 2-boyutlu ve 3-boyutlu uzayda parametrik eğrilerin eğriliği incelendi. Daha sonraki aşamada 2-boyutlu ve 3-boyutlu yüzeylerin eğriliği incelendi ve , gibi kavramlar ortaya çıktı.

"Eğrilik" kavramı daha birçok uygulama buldu ve , , , gibi kavramlar üretildi.

3-boyutlu uzayda eğrilik tanımı

3-boyutlu Öklit uzayında bir eğri düşünelim. Koordinat merkezinden eğri üzerindeki bir noktaya ulaşan konum vektörü ${\displaystyle \,\mathbf {r} (t)}$ bir parametreye (örnegin ${\displaystyle \,t}$ ile gösterilen zamana) bağlı olsun. Konum vektörünün gösterdiği noktadaki eğrilik şu şekilde hesaplanır:

${\displaystyle \kappa ={\frac {|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|}{|\mathbf {r} '|^{3}}}}$

Bu formülde ${\displaystyle \,\mathbf {r} '}$ hız vektörü, ${\displaystyle \,\mathbf {r} ''}$ ise ivme vektörüdür.

Frenet formülleri

Vektörler arasındaki bağıntılar.

${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {T} }$

${\displaystyle \mathbf {r} ''=\kappa \,\mathbf {N} }$

${\displaystyle \mathbf {r} '''=\kappa \,\mathbf {N} +\kappa (\tau \mathbf {B} -\kappa \mathbf {T} )}$

${\displaystyle \,\tau }$ derecesidir.

Basit örnekler

Daire yarıçapını ${\displaystyle \,R}$ simgesiyle gösterirsek

• Doğru çizgi: ${\displaystyle \,\kappa =0\,\,\,\,\,\tau =0}$
• Daire: ${\displaystyle \,\kappa =1/R\,\,\,\,\,\,\tau =0}$
• Heliks: ${\displaystyle \,\kappa =1/R\,\,\,\,\,\,\tau >0}$