Etken potansiyel

Etken potansiyel (veya etken potansiyel enerji) çoklu etkileri (özellikle zıt olanları) tek bir noktada toplayan matematiksel bir ifade. Klasik mekanikte, dinamik sistemin potansiyel enerjisi ile zıt merkezkaç potansiyel enerjisinin toplamı olarak tanımlanır. Genellikle gezegenlerin yörüngelerini hesaplamada (hem Newton yasalarına uygun hem de göreceli) ve yarı-klasik atomik hesaplamalarda ve dahaz boyutları azaltmak için olan problemlerde kullanılır.

Tanım

Etken potansiyel ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$ aşağıdaki şekilde tanımlanır:

${\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(\mathbf {r} )}$

L açısal momentum

r iki kütle arasındaki mesafe

m yörüngede hareket eden cismin ağırlığı,

U(r) potansiyelin genel biçimi

Etken kuvvet, etken potansiyelin negatif gradyanı olur:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{mr^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ radyal yöndeki birim vektörü gösterir.

Önemli Özellikler

Etken potansiyelin çok fazla özellikleri vardır. Kapana kısılmak için uçan ve yörüngeye giren E enerjili parçacık şartı için:

${\displaystyle U_{\text{eff}}<E}$

Çembersel yörüngenin yarıçapını bulmak için, ${\displaystyle r}$ göre, etken potansiyeli basitçe azaltmak veya net kuvveti sıfıra eşitleyerek ve sonrasında ${\displaystyle r_{0}}$ için çözülür:

${\displaystyle {\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0}$

${\displaystyle r_{0}}$ için çözdükten sonra, etken potansiyelin maksimum değerini ${\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}}$ bulmak için yerine ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$ koyulur.

Küçük salınımların frekansını bulmak için:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}}}$

iki tırnak işareti, r'ye göre etken potansiyelin ikinci türevini gösterir.

Örnek: Yerçekim ile İlgili Olan Potansiyel

Örneğin, m kütleli cismin kendinden daha ağır olan M kütleli cisim etrafında döner. Newton yasalarına uygun mekaniğin kullanıldığını varsayın ve büyük kütleli cismin hareketini yok sayın. Sonra, enerjinin ve açısal momentumun korunumu, iki tane E ve L sabitlerini verir.

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},}$

${\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\phi }}\,}$

${\displaystyle {\dot {r}}}$ r nin zamana göre türevi,

${\displaystyle {\dot {\phi }}}$ m kütleli cismin açısal hızı,

G yerçekimi ile ilgili olan sabit,

E toplam enerji ve

sadece iki değişkene ihtiyaç var, çünkü hareket düzlemde meydana geliyor. İkinci ifadeyi birincinin yerine kullandığımızda

${\displaystyle m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),}$

${\displaystyle U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}}$

Ueff'in etken potansiyel olduğu. Yukarıdaki eşitlikten de belli olduğu gibi, Orijinal iki değişken problemi bir değişkenli probleme düşürülmüştür. Birçok uygulama için etken potansiyel, tek boyutlu sistemelerin potansiyel enerjisi gibi kullanılabilir: Mesela, etken potansiyeli kullanan enerji diagramı, dengeli ve dengesiz eşitliklerin yerlerini ve dönme noktalarını belirler. Benzer bir metot diğer uygulamalar için, örneğin, genel Schwarzschild metriğine göre yörüngeleri kara vermede kullanılabilir.

Etken potansiyeller yoğun maddelerin, Gauss-çekirdeği potansiyeli ve görünen Coulomb potansiyeli gibi, çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılır.

Notlar

Benzer türetme José & Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, syf. 31–33 bulunur.