Cantor teoremi

Cantor teoremi, kümeler teorisinin başlıca teoremlerindendir. Teorem; boş olmayan herhangi bir X kümesinin kuvvet kümesinin kardinalitesinin, X kümesinin kardinalitesinden büyük olduğunu söyler. P(X) ile kuvvet kümesi gösterilirse, teoreme göre X kümesi ile P(X) arasında birebir eşleme yapılamaz.

Georg Cantor bu teoremi 1891 yılında ispatlamıştır.

İspat

Sonlu kümeler için teoremin doğru olduğu açıkça görülmektedir: Bir X kümesinin n tane elemanı olduğunu kabul edelim. Bu durumda X kümesinin kuvvet kümesi 2ⁿ elemana sahip olacaktır. Her n doğal sayısı için, n < 2ⁿ olduğuna göre, X ile P(X) arasında birebir eşleme yapılamaz. O halde sonlu sayıda elemana sahip kümeler için Cantor Teoremi doğrudur.

Şimdi sonsuz kümeler için teoremi ele alalım:

X ile Y iki küme olsun ve X kümesinin kardinalitesi Y kümesinin kardinalitesinden küçük olsun. Öyleyse X kümesinden Y kümesine birebir bir fonksiyon vardır, ancak örten bir fonksiyon yoktur. (Y kümesinden X kümesine birebir bir fonksiyon yoktur.)

f birebir ve örten bir fonksiyon olsun, öyle ki;

f: X → P(X)

x → f(x) = {...}

Şimdi A kümesini, X in bir alt kümesi olarak alalım ve A = {x ∈ X : x ∉ f(x)} olsun.

A ∈ P(X) olduğuna göre; X te öyle bir a elemanı vardır ki f(a) = A dır. Bu durumda a ∈ A ya da a ∉ A olmalıdır.

• Eğer a ∈ A ise; A kümesinin tanımından dolayı a ∉ f(a) olmalıdır. f(a) = A olduğuna göre, a ∉ A dır. Bu a ∈ A ile çelişir.
• Eğer a ∉ A ise; A kümesinin tanımından dolayı a ∈ f(a) olmalıdır. f(a) = A olduğuna göre, a ∈ A dır. Bu a ∉ A ile çelişir.

Bu durumda f(a) = A koşulunu sağlayan herhangi bir a yoktur ve A kümesi f fonkiyonunun görüntüsünde değildir. Yani X ten P(X) e örten bir fonksiyon yoktur.

O halde, Car(X) < Car(P(X)) tir.

Ayrıca bakınız

• Cantor'un köşegen yöntemi
• Cantor paradoksu