Brune teoremi

Brune teoremi, bir orta düzey Prusya memuru olan muhasebeci (1790?-1860?) tarafından bulunan ve 1841 yılında Berlin'de yayınlanan, dörtgenlerle ilgili bir temel geometri teoremidir. Teorem, Öklid düzleminde bir dışbükey dörtgeninin yapıcı bir şekilde aynı alana sahip dört kısmi dörtgene nasıl bölünebileceği problemini ele alır ve yanıtlar.

Brune teoremi için çizilen örnek dışbükey dörtgen

Teoremin formülasyonu

Teorem şu şekilde formüle edilebilir:

Öklid düzleminde keyfi bir ${\displaystyle ABCD}$ dışbükey dörtgeni verilir. ${\displaystyle M}$ ve ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle AC}$ ve ${\displaystyle BD}$ köşegenleri üzerinde yer alan iki orta noktadır.

${\displaystyle M}$ ve ${\displaystyle N}$ noktalarından diğer köşegene paralel çizilir, ${\displaystyle O}$ noktası iki köşegen merkezinden çizilen doğruların kesişme noktasıdır. ${\displaystyle O}$ noktasının ${\displaystyle M=N}$'de olması durumunda ${\displaystyle ABCD}$ bir paralelkenardır.

Sonra:

${\displaystyle O}$ noktası, dörtgenin dört kenarının orta noktaları ile birleştirilirse, ${\displaystyle ABCD}$ dörtgeni, her biri ${\displaystyle ABCD}$ dörtgeninin ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ alanına sahip olan dört alt dörtgene bölünmüş olur.

İspat

Teoremin ispatı

${\displaystyle ABCD}$ herhangi bir düzensiz dörtgen ve ${\displaystyle E,F,G,H}$ ise bu dörtgenin kenarlarının orta noktaları olsun. Öyle bir ${\displaystyle K}$ noktası vardır ki;

${\displaystyle S_{AHKE}=S_{EKFB}=S_{KHDG}=S_{KGCF}=\left({\frac {1}{4}}S_{ABCD}\right)}$

${\displaystyle A,B,C,D,I}$'nın sırasıyla ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p}$ koordinatlarına sahip olduğunu varsayalım. Sonra,

${\displaystyle \mathbf {S} _{AHKE}={\frac {1}{2}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1})\times {\frac {\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4}}{2}}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})}$,

${\displaystyle \mathbf {S} _{EKFB}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} )={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2})\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})}$,

${\displaystyle \mathbf {S} _{KHDG}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4})={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{4}-\mathbf {p} )\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})}$,

${\displaystyle \mathbf {S} _{KGCF}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} )\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})}$.

Aşağıdaki ifade kolayca görülebilir:

${\displaystyle \mathbf {S} _{AHKE}+\mathbf {S} _{KGCF}={\frac {1}{2}}\mathbf {S} _{ABCD}}$,

${\displaystyle \mathbf {S} _{EKFB}+\mathbf {S} _{KHDG}={\frac {1}{2}}\mathbf {S} _{ABCD}}$

bu nedenle ${\displaystyle p}$'nin iki bileşenini belirlemek için tam olarak iki doğrusal denklem vardır;

${\displaystyle \mathbf {S} _{AHKE}-\mathbf {S} _{KGCF}=0}$,

${\displaystyle \mathbf {S} _{EKFB}-\mathbf {S} _{KHDG}=0}$

Ve denklemler aşağıdaki şekilde yazılabilir;

${\displaystyle (2\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{3})\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})=0}$,

${\displaystyle (2\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})=0}$

Bu, aşağıdaki ifadeye eşittir:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{3}}{2}}+\lambda (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})={\frac {\mathbf {p} _{2}+\mathbf {p} _{4}}{2}}+\mu (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1}),\quad \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle K}$'nin geometrik tanımı şimdi açık olmalıdır: ${\displaystyle K}$ noktası, köşegenlerin kesişme noktasının (${\displaystyle M=AC\cap BD}$), köşelerin ağırlık merkezi ${\displaystyle P}$'ye göre yansımasıdır/simetrisidir.

Kaynakça

• Brune (1841). "Eine Eigenschaft des Vierecks". . Cilt 22. s. 379. MR1578286. 
• , (Ed.) (1973). "Erstes Heft". Mathematische Unterhaltungen. Walluf bei Wiesbaden: Dr. Martin Sändig. ISBN . Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873. 

Notlar

1. ^ Möglicherweise E. W. Brune nach , Über die Entwicklung der Elementargeometrie im 19. Jh., Jb DMV, 1. Ergänzungsband, 1906, s. 256 (Register). E. W. Brune ist auch als Pionier von Sterbetafeln in Deutschland bekannt (Crelle J. 1837, S. 58).
2. ^ ^{a b} Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. 1973, s. 66

Konuyla ilgili yayınlar

• Wetzel, John E. "Squares in triangles." The Mathematical Gazette 86.505 (2002): ss. 28-34.