Bergman çekirdeği

Matematiğin bir alanı olan çok değişkenli kompleks analizde, Bergman çekirdeği, karesi integrallenebilir holomorf fonksiyonlardan oluşan Hilbert uzayının (yani Bergman uzayının) doğuran çekirdeğidir. Stefan Bergman'ın ardından isimlendirilmiştir.

Tanım

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$deki bir ${\displaystyle D}$ bölgesinde karesi integrallenebilir fonksiyonları ${\displaystyle L^{2}(D)}$ ile gösterelim. Ayrıca, ${\displaystyle D}$ bölgesinde tanımlı olan holomorf fonksiyonların uzayını da ${\displaystyle H(D)}$ ile gösterelim. O zaman, Bergman uzayı ${\displaystyle L^{2,h}(D):=L^{2}(D)\cap H(D)}$, karesi integrallenebilir holomorf fonksiyonların uzayı olacaktır ve şu özelliklere sahiptir.

• ${\displaystyle L^{2,h}(D)}$ Hilbert uzayıdır:
  • Öncelikle, Bergman uzayı, tanımı gereği yine bir Hilbert uzayı olan ${\displaystyle L^{2}(D)}$nin doğrusal bir altuzayıdır.
  • Aynı zamanda, Bergman uzayı, ${\displaystyle L^{2}(D)}$ içinde kapalıdır. Bu yüzden, kendi başına da tam bir metrik uzaydır. Bu uzayın kapalı olmasının sebebi ${\displaystyle D}$nin her tıkız alt kümesi için ${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}}$ eşitsizliğinin sağlanmasıdır. Bu halde, bir holomorf fonksiyon dizisinin ${\displaystyle L^{2}(D)}$ içindeki yakınsaklığı tıkız kümeler üzerindeki düzgün yakınsaklığa (yani ) dönüşür. Böylelikle, bu dizinin limiti de holomorf olur. ${\displaystyle L^{2}(D)}$ zaten tam olduğu için, limitin kare integrallenebilir olduğu bilinmektedir. O yüzden, limit fonksiyonu da ${\displaystyle L^{2,h}(D)}$ içindedir.
• Yukarıda bahsedilen ${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}}$ eşitsizliğinin ${\displaystyle D}$nin her tıkız altkümesinde sağlanması, aynı zamanda ${\displaystyle D}$ içindeki her ${\displaystyle z}$ noktası için, ${\displaystyle ev_{z}:f\mapsto f(z)}$ gönderiminin bir sürekli doğrusal operatör olduğunu da gösterir. Bir başka deyişle, ${\displaystyle D}$ içindeki her ${\displaystyle z}$ noktası için, ${\displaystyle L^{2,h}(D)}$ uzayında bulunan fonksiyonların ${\displaystyle z}$ noktasında değerlendirilmesi sürekli doğrusal operatör olur. O zaman, kullanılarak bu doğrusal operatör ${\displaystyle L^{2,h}(D)}$'deki bir elemanla iç çarpım halinde yazılabilir:

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).}$

Bergman çekirdeği ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}}$ olarak tanımlanır. Bergman çekirdeği ${\displaystyle K(z,\zeta )}$, ${\displaystyle z}$ değişkeninde holomorf ve ${\displaystyle \zeta }$ değişkeninde ise tersholomorftur. Aynı zamanda aşağıdaki eşitliği sağlar.

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).}$

Başka bir deyişle, ${\displaystyle D}$ içindeki her ${\displaystyle z}$ noktası için, ${\displaystyle L^{2,h}(D)}$ içindeki her holomorf fonksiyonun bu çekirdekle çarpılıp integralinin alınması fonksiyonun ${\displaystyle z}$ noktasında değerlendirmesini geri verir. ${\displaystyle z}$ noktası herhangi bir nokta olabileceği için, fonksiyon çekirdek tarafından tekraradan üretilmiş olur; yani, çekirdek üreteç görevi görmektedir.

Özel bölgelerde Bergman çekirdeği

Bergman çekirdeği, karmaşık sayılar düzlemdeki bazı özel bölgelerde açık bir şekilde bilinmektedir.

• Birim disk: ${\displaystyle D=\mathbb {D} (0,1)=\{z\in \mathbb {C} :\vert z\vert <1\}\,}$ ise, o zaman

$${\displaystyle K(z,\zeta )={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-z{\bar {\zeta }})^{2}}},\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {D} ).}$$

• (Gerçel kısmı pozitif olan) : ${\displaystyle D=\mathbb {C} _{+}=\{z\in \mathbb {C} :\vert Rez>0\}\,}$ ise, o zaman

${\displaystyle K(z,\zeta )={\frac {1}{({\overline {z}}+\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {C} _{+}).}$

Kaynakça

1. ^ Elliott, Sam J.; Wynn, Andrew (2011), "Composition Operators on the Weighted Bergman Spaces of the Half-Plane", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 54 (2), ss. 374-379, arXiv:0910.0408 $2, doi:10.1017/S0013091509001412, 6 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 30 Ağustos 2024 

Ayrıca bakınız

• Bergman uzayı