Almaşık seri testi

Almaşık seri testi (Leibniz testi, Leibniz kriteri veya alterne seri testi), matematikte sonsuz bir serinin yakınsaklığını göstermek için kullanılan bir yöntemdir. Gottfried Leibniz tarafından keşfedildiği için Leibniz ismiyle de atfedilir.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}\!}$

biçimindeki, bütün a_n 'lerin pozitif veya 0 olduğu bir seriye almaşık seri denilir. a_n dizisi 0'a yakınsarsa ve her a_n, a_n-1 'den küçükse (yani a_n dizisi ise), o zaman seri yakınsar. Eğer L, serinin toplamıysa yani

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}=L\!}$

ise, o zaman

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}(-1)^{n}\!}$

kısmi toplamı L 'ye

${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!}$

hatasıyla yaklaşır.

Bir serinin kısmi toplamları olan S_k 'lerin bu son koşulu seri almaşık olmadan da sağlaması gayet de mümkündür. Apaçık bir örnek için

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{n}={\frac {1}{2}}\!}$

serisi ele alınabilir.

Kaynakça

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.4)
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, 4. baskı, Cambridge University Press, 1963. (& 2.3)