Agmon eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Agmon eşitsizliği Lebesgue uzayı ${\displaystyle L^{\infty }}$ ile ${\displaystyle H^{s}}$ arasındaki iki ayrı aradeğerleme eşitsizliklerine verilen bir addır. Bu eşitsizlik, kısmi diferansiyel denklemlerde oldukça faydalıdır ve İsrailli matematikçi Shmuel Agmon'un adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

${\displaystyle k\geq 2}$ olmak üzere ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{k}}$ açık bir küme ve ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$ olsun.

• ${\displaystyle k=2}$ iken

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}}$

eşitsizliğini sağlayan bir ${\displaystyle C}$ sabiti vardır.

• ${\displaystyle k=3}$ iken

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2},}$

ve

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/4}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{3/4}.}$

eşitsizliklerini sağlayan bir ${\displaystyle C}$ sabiti vardır.

• ${\displaystyle k\geq 4}$ iken, ${\displaystyle s_{1}}$ ve ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle s_{1}<{\tfrac {n}{2}}<s_{2}}$ eşitsizliğini sağlayacak şekilde seçilmiş olsun ve ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}=\theta s_{1}+(1-\theta )s_{2}}$ eşitliğini sağlamak üzere bir ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ sayısı alınsın. O halde,

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{s_{1}}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{H^{s_{2}}(\Omega )}^{1-\theta }}$

eşitsizliğini sağlayan bir ${\displaystyle C}$ sabiti vardır.

Ayrıca bakınız

• Ladıjenskaya eşitsizliği
• Brezis-Gallouet eşitsizliği

Kaynakça

1. ^ Agmon, Shmuel (2010), Lectures on Elliptic Boundary Value Problems (İngilizce), Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN , Lemma 13.2ye bakınız